![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicСюжет: в университете Торонто первокурсникам читается курс MAT102H5 "Introduction to Mathematical Proofs". Учебник по этому курсу https://www.math.utoronto.ca/~alfonso/proofs/fuchs.pdf авторства Shay Fuchs начинается с вывода формулы для корней квадратного уравнения. Автор ЖЖ-постинга https://yigal-s.livejournal.com/1782843.html прочел этот вывод в этом учебнике и нашел его не вполне строгим.
Мои комменты:
"1. Понимание того, что такое математическая строгость — это примерно линия отсечения, отличающая потенциальных математиков от совсем-не-математиков. Потенциальным математикам, если их интересует перспектива стать математиками, лучше было бы преодолевать этот рубеж в 6м классе школы, а не в университете. Большинство студентов Университета Торонто относятся (я уверен) к категории совсем-не-математиков. Научить их математической строгости невозможно.
2. Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п.
3. Если отсутствие корректного объяснения того, как знак плюс-минус перед корнем умножается (вернее, делится) на знак плюс или минус перед 2a и остается таким же знаком плюс-минус — это худшая проблема с данным учебником, то это очень хороший учебник. Последнее маловероятно. Скорее всего, учебник плох, но по совсем другим причинам. Одна из таких причин упомянута в пункте 2."
***
"Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать.
На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Как метод познания истины, математическая строгость при выводе формулы корней квадратного уравнения дает не больше информации, чем какой-нибудь условный физический уровень строгости. Формула корней квадратного уравнения красива и нетривиальна, но более строгий ее вывод отличается от менее строгого только количеством занудства. Зачем это занудство нужно и что оно дает, студенту-первокурснику непонятно. Смысл упрекать учебник в том, что в нем недостаточно такого занудства — неясен мне.
Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n. Будь там хоть n = 100, хоть n = 1000. Хотя сумму кубов натуральных чисел от 1 до 1000 руками можно долго считать. (Собственно, с этого можно начать: посчитайте 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3. Утомительное немного упражнение, да? А как это сделать по уму? И т.д.)
Для человека, любящего математику, математика — это увлекательная игра, и математическая строгость лежит в основе этой игры так же, как в основе игры в шахматы лежат правила, по которым ходят фигуры. Только математики считают, что правила игры в шахматы искусственны и произвольны, исторически случайны — а математическая строгость в природе вещей.
Для типичного школьника и студента, математика, как она преподается в современных школах и вузах — бессмысленная, непонятная тягомотина и скукотища. Гораздо увлекательнее, вон, выйти на улицу помахать флагами за Хамас. Потому и происходит то, что происходит. Непонятная тягомотина с каждым следующим поколением разводняется, не становясь от этого более понятной, но становясь еще более бессмысленной."
Мои комменты:
"1. Понимание того, что такое математическая строгость — это примерно линия отсечения, отличающая потенциальных математиков от совсем-не-математиков. Потенциальным математикам, если их интересует перспектива стать математиками, лучше было бы преодолевать этот рубеж в 6м классе школы, а не в университете. Большинство студентов Университета Торонто относятся (я уверен) к категории совсем-не-математиков. Научить их математической строгости невозможно.
2. Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п.
3. Если отсутствие корректного объяснения того, как знак плюс-минус перед корнем умножается (вернее, делится) на знак плюс или минус перед 2a и остается таким же знаком плюс-минус — это худшая проблема с данным учебником, то это очень хороший учебник. Последнее маловероятно. Скорее всего, учебник плох, но по совсем другим причинам. Одна из таких причин упомянута в пункте 2."
***
"Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать.
На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Как метод познания истины, математическая строгость при выводе формулы корней квадратного уравнения дает не больше информации, чем какой-нибудь условный физический уровень строгости. Формула корней квадратного уравнения красива и нетривиальна, но более строгий ее вывод отличается от менее строгого только количеством занудства. Зачем это занудство нужно и что оно дает, студенту-первокурснику непонятно. Смысл упрекать учебник в том, что в нем недостаточно такого занудства — неясен мне.
Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n. Будь там хоть n = 100, хоть n = 1000. Хотя сумму кубов натуральных чисел от 1 до 1000 руками можно долго считать. (Собственно, с этого можно начать: посчитайте 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3. Утомительное немного упражнение, да? А как это сделать по уму? И т.д.)
Для человека, любящего математику, математика — это увлекательная игра, и математическая строгость лежит в основе этой игры так же, как в основе игры в шахматы лежат правила, по которым ходят фигуры. Только математики считают, что правила игры в шахматы искусственны и произвольны, исторически случайны — а математическая строгость в природе вещей.
Для типичного школьника и студента, математика, как она преподается в современных школах и вузах — бессмысленная, непонятная тягомотина и скукотища. Гораздо увлекательнее, вон, выйти на улицу помахать флагами за Хамас. Потому и происходит то, что происходит. Непонятная тягомотина с каждым следующим поколением разводняется, не становясь от этого более понятной, но становясь еще более бессмысленной."
