Contraherent cosheaves on schemes

[posic]

Двадцать третья версия, или семнадцатая в новой серии -- http://arxiv.org/abs/1209.2995

Эта версия задумана как окончательная на Архиве, по крайней мере, на обозримую перспективу. Дальнейшие обновления не планируются.

Comments

[chaource]

Можно я задамъ простые вопросы дилетанта по теорiи категорiй?

Для нѣкихъ нуждъ программированiя нужно показать, что (для фиксированной монады M) произведенiе любыхъ двухъ M-монадныхъ алгебръ является тоже M-монадной алгеброй.

Извѣстно ли такое свойство и доказано ли оно уже гдѣ-то въ литературѣ въ терминахъ категорiй при какихъ-то минимально необходимыхъ предположенiяхъ - скажемъ, что въ категорiи есть монады и конечныя произведенiя или еще съ какими-то дополнительными предположенiями.

Или это свойство является какимъ-то очень спецiальнымъ и почти никогда не выполняется, кромѣ какихъ-то особыхъ случаевъ?

Я умѣю доказывать похожее утвержденiе только въ терминахъ конкретнаго кода на языкѣ программированiя. Но это очень похоже на какое-то общее свойство монадныхъ алгебръ, потому что доказательство используетъ только законы естественныхъ преобразованiй и манипуляцiи съ объектами-произведенiями.

[posic]

Я думаю, что это совершенно общее свойство любых монад в любой категории.

Пусть M -- монада на категории C. М-монадная алгебра -- это объект X ∈ C, снабженный морфизмом M(X) → X, удовлетворяющим уравнениям ассоциативности и унитальности.

Пусть X и Y -- две M-монадные алгебры в категории C, и пусть X × Y -- произведение объектов X и Y в категории C. По определению произведения, имеются два морфизма (проекции) X×Y → X и X×Y → Y.

Рассмотрим композицию M(X×Y) → M(X) → X. Здесь M(X×Y) → M(X) -- это морфизм, полученный применением функтора M к морфизму проекции X×Y → X. А M(X) → X -- структурный морфизм M-монадной алгебры X (морфизм действия монады M на объекте X, снабженном таким действием).

Рассмотрим также аналогичную композицию M(X×Y) → M(Y) → Y.

По определению произведения в категории, для любого объекта Z и любой пары морфизмов Z → X и Z → Y имеется единственный соответствующий этой паре морфизмов морфизм Z → X×Y.

Рассмотрим Z = M(X×Y). Выше мы построили два морфизма M(X×Y) → X и M(X×Y) → Y. Применяя предыдущий абзац к этой паре морфизмов, получаем морфизм M(X×Y) → X×Y. Этот морфизм задает искомое действие монады M на объекте X×Y, т.е., искомую структуру M-монадной алгебры на X×Y.

Остается проверить, что полученный морфизм M(X×Y) → X×Y удовлетворяет аксиомам ассоциативности и унитальности для действия монады. Эту проверку я бы оставил тебе в качестве упражнения.

[chaource]

Пока что построен морфизмъ, и это въ моемъ доказательствѣ соотвѣтствуетъ одной строкѣ кода. Я посмотрю, какъ именно въ этомъ кодѣ используются свойства категорнаго произведенiя и навѣрно смогу перевести остальное мое доказательство съ языка программнаго кода на языкъ категорiй. (Но провѣрка ассоцiативности и унитальности занимаетъ у меня примѣрно около 6 строкъ на языкѣ кода.)

[posic]

Ну, конечно, если расписать проверку ассоциативности и унитальности с той же степенью подробности, то и на математическом языке она будет занимать больше места, чем конструкция морфизма.

[posic]

На вопрос по литературе ответить не могу. Я мало знаком с литературой по элементарным базовым аспектам чего бы то ни было, теории категорий в частности. Есть стандартная книжка Mac Lane "Categories for the working mathematician", там есть глава про монады. Искать в ней данную конкретную лемму или упражнение мне сейчас лень.

По-моему, тут нечего доказывать. Все очевидно. А упражнение (проверку ассоциативности и унитальности) ты можешь сделать сам.