Квадратично-линейные коалгебры
Oct. 17th, 2009 11:03 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНа кообертывающей коалгебре коалгебры Ли имеется естественная убывающая фильтрация, двойственная к Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской возрастающей фильтрации на обертывающих алгебрах. С убывающими фильтрациями иметь дело сложно, тем более, если пространство не полно относительно такой фильтрации, как в данном случае. Для произвольной коалгебры Ли кообертывающая коалгебра -- так или иначе не очень хороший объект, но есть один случай, когда кообертывающие коалгебры хороши -- это случай конильпотентной кообертывающей коалгебры конильпотентной коалгебры Ли. Соответственно, с Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской убывающей фильтрацией на конильпотентной кообертывающей коалгебре конильпотентной коалгебры Ли хотелось бы научиться работать.
Пополнять конильпотентную кообертывающую коалгебру едва ли было бы уместно, разумеется. Кажется, правильный подход состоит в том, чтобы снабдить кообертывающую коалгебру, наряду с убывающей Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской фильтрацией, также и какой-нибудь возрастающей фильтрацией, так чтобы убывающая фильтрация была локально конечной относительно возрастающей. Можно надеяться, что это как-то решит проблему полноты.
В общем виде соответствующий формализм выглядит так. Пусть С -- коаугментированная коассоциативная коалгебра над полем k; снабдим ее "коаугментационной" возрастающей фильтрацией NmC = ker(C→C/k⊗m+1). Коалгебра C называется конильпотентной, если фильтрация N исчерпывающая. (Эта терминология не общепринята; понятие, о котором идет речь, переоткрывалось многими людьми, работавшими с коалгебрами, и каждый из них называл его каким-нибудь своим словом; часто говорят о "кополных" коалгебрах, но мне это совсем не нравится.)
Пусть V -- какая-то убывающая фильтрация на C; предположим, что С/V1C = k и присоединенная градуированная коалгебра grVC копорождена своей первой компонентой. Тогда пересечение VmC ∩ Nm-1C содержится в Vm+1C. Таким образом, если C конильпотентна, то ∩n VnC = 0 тогда и только тогда, когда VmC ∩ Nm-1C = 0 для любого m. То есть если пересечение компонент фильтрации V равно нулю, то она локально конечна относительно N в довольно сильном смысле.
Теперь напрашивается определение: квадратично-линейная кошулева коалгебра -- это конильпотентная коалгебра с убывающей фильтрацией V, такой что ∩n VnC = 0 и градуированная коалгебра grVC кошулева. Заметим, что никаких квадратично-линейно-скалярных кошулевых коалгебр, похоже, не существует (т.е., нет смысла их рассматривать).
Пополнять конильпотентную кообертывающую коалгебру едва ли было бы уместно, разумеется. Кажется, правильный подход состоит в том, чтобы снабдить кообертывающую коалгебру, наряду с убывающей Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской фильтрацией, также и какой-нибудь возрастающей фильтрацией, так чтобы убывающая фильтрация была локально конечной относительно возрастающей. Можно надеяться, что это как-то решит проблему полноты.
В общем виде соответствующий формализм выглядит так. Пусть С -- коаугментированная коассоциативная коалгебра над полем k; снабдим ее "коаугментационной" возрастающей фильтрацией NmC = ker(C→C/k⊗m+1). Коалгебра C называется конильпотентной, если фильтрация N исчерпывающая. (Эта терминология не общепринята; понятие, о котором идет речь, переоткрывалось многими людьми, работавшими с коалгебрами, и каждый из них называл его каким-нибудь своим словом; часто говорят о "кополных" коалгебрах, но мне это совсем не нравится.)
Пусть V -- какая-то убывающая фильтрация на C; предположим, что С/V1C = k и присоединенная градуированная коалгебра grVC копорождена своей первой компонентой. Тогда пересечение VmC ∩ Nm-1C содержится в Vm+1C. Таким образом, если C конильпотентна, то ∩n VnC = 0 тогда и только тогда, когда VmC ∩ Nm-1C = 0 для любого m. То есть если пересечение компонент фильтрации V равно нулю, то она локально конечна относительно N в довольно сильном смысле.
Теперь напрашивается определение: квадратично-линейная кошулева коалгебра -- это конильпотентная коалгебра с убывающей фильтрацией V, такой что ∩n VnC = 0 и градуированная коалгебра grVC кошулева. Заметим, что никаких квадратично-линейно-скалярных кошулевых коалгебр, похоже, не существует (т.е., нет смысла их рассматривать).
