Сюжеты, по упущению не вошедшие в книжку про квадратичные алгебры

[posic]

1. Нильпотентные квадратично-линейные алгебры, приспособленность к функтору адического пополнения по идеалу аугментации, равенство когомологий алгебры и ее адического пополнения.
2. Рост/rate гомологий конечно-порожденных неградуированных алгебр, несуществование конечно-порожденной кошулевой фильтрации на обертывающей алгебре положительной части Вирасоро/Каца-Муди и т.п.
3. (Ко)гомологии Хохшильда кошулевых алгебр, поведение при квадратичной двойственности (плюс то же для циклических гомологий и т.д.).
4. (маловажное) Подробное доказательство невозможности восстановления ряда Пуанкаре (от двух переменных) квадратичной алгебры по такому же ряду двойственной алгебры.
Сюжет про rate произведений Сегре и подалгебр Веронезе, кажется, все-таки вошел... (Записываю по памяти, в книгу я сейчас не заглядывал.)

Comments

[etre-moral.livejournal.com]

А для пункта 4 есть разные интересные примеры?

[posic.livejournal.com]

Какого рода примеры? Пункт 4 очень похож на известное утверждение, что A(z)A^!(-z)=1 не влечет кошулевости. Для этого утверждения есть интересные примеры?

[etre-moral.livejournal.com]

Ну вот разные конструкции для этого известного утверждения, использующие произведение Сегре, мне очень нравятся. (Хотя и огорчают, потому что идея буквально не выживает в мире операд - белый и чёрный кружочек для операд не сохраняют свойство кошулевости.) Для рядов Пуанкаре то же самое срабатывает?

[posic.livejournal.com]

Да, аргументы в обоих случаях вполне аналогичные. Нужно (1) подобрать пример, когда нарушается "ограниченная по внутренней градуировке" разновидность искомого свойства и (2) воспользоваться белым и черным кружочками для обрезания сверху по внутренней градуировке.

Явный контрпример к 4 был выписан еще в моей заметке в Функане, но в аргументе стояла отсылка к некому описанию когомологий произведения Сегре произвольной алгебры на кошулеву. Такое описание появилось в книжке, но применение его к 4 в книжке не обсуждается. Зато там объясняется на пальцах, как получается, что восстановить одни размерности Ext'ов по другим не удается: размерностей мало, нужно еще умножение на Ext'ах, высшие умножения и т.д.

[etre-moral.livejournal.com]

Ага, спасибо за разъяснение.

А есть ли хотя бы один пример радикально другого сорта, без использования обрезания с помощью белого кружочка?

[posic.livejournal.com]

Для вопроса про A(z)A^!(-z)=1 есть пример Руса, найденный на компьютере и доказанный средствами ad hoc. Коммутативный, и всего с 5 образующими. Hо для вопроса про восстановление P_{A^!} по P_A я, кажется, не знаю никаких примеров, полученных без использования белого и черного кружочков.