Что хотелось бы понять

[posic]

Не по теме этого постинга -- http://avva.livejournal.com/2144076.html

0. Над этой задачей я много думал в юности, и что-то даже из этого произросло. Сейчас представляется, что она важна скорее как основная стимулирующая задача в определенной области, чем сама по себе.
а) Что можно сказать о рядах Гильберта кошулевых алгебр? Рациональны ли они?
б) Что можно сказать о рядах Гильберта 1-зависимых стационарных 0-1-последовательностей? Мероморфны ли они?
в) Как правильно включить кошулевы операды в контекст вопросов а)-б)? (Для кошулевых модулей это более понятно.) Выполнена ли для них соответствующая гипотеза?

1. Эта задача являет собой пример конфликта между разумом и чувством -- она явно неразрешима, но очень хочется, и польза могла бы быть, если бы могла (мыслятся приложения к задаче 8а).
а) Научиться работать с кокольцами, неплоскими над базовым кольцом.
б) Что такое относительная кошулевость для колец/коколец/полуалгебр, не (ко)плоских над базовым (ко)кольцом?

2. Эта задача чуть больше похожа на разрешимую, и польза тоже была бы (например, для задачи 3а).
а) Будем рассматривать башни: алгебра над коалгеброй над алгеброй над коалгеброй... Как построить производный функтор тензорно-котензорного произведения для таких башен высоты больше условных двух с половиной (для которых это известно)?
б) В той же ситуации, как построить производное комодульно-контрамодульное соответствие.

3. Этой задачей и ее окрестностями сейчас занимаются очень известные люди. Пункт б) может быть очень трудным.
а) Что такое полубесконечные (ко)гомологии тейтовских алгеброидов Ли?
б) Что такое полубесконечные (ко)гомологии инд-про-инд-про-векторных пространств со структурами алгебр Ли?

4. Эта задача очень интересная, но неправильно поставлена. Как охарактеризовать абсолютные группы Галуа (правильнее -- рассматриваемые вместе с циклотомическим характером) среди всех проконечных групп?

5. Эта задача явно очень важная. Пункт б) представляется ключом к пункту а).
а) Что можно сказать о поведении когомологий Галуа с постоянными/циклотомическими коэффициентами в расширениях полей с группами Галуа более сложными, чем циклические и диэдральные (для которых это известно)?
б) Как описываются конечные точные последовательности перестановочных представлений конечных групп с целыми или конечными коэффициентами?

6. Эта задача явно очень важная и трудная, кроме, может быть, последнего пункта, о трудности которого судить невозможно, поскольку он является задачей на изобретение гипотез.
а) Кошулева ли алгебра Милнора поля по модулю простого числа?
б) Как насчет разнообразных дальнейших гипотез модульной кошулевости (возникающих в задачах 5а) и 7)?
в) Следует ли предполагать кошулевость алгебры Милнора поля характеристики ноль, помноженной тензорно на рациональные числа?

7. Эта задача очень красивая и трудная. Правда ли, что силовские подгруппы абсолютной группы Галуа максимального (одноступенно) радикального расширения произвольного поля свободны?

8. Последние два пункта этой задачи являются вопросами исключительной важности; первый -- их маленький и слабенький кусочек.
а) Как описать производную категорию мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля? (Для мотивов Тейта ответ известен и выводит на задачу 6а); для мотивов Артина ответ несложен и доставляет связь с задачей 5б).
б) Как описать производную категорию мотивов с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля?
в) Как описать производную категорию мотивных пучков (скажем, Тейта) с конечными коэффициентами над схемой в терминах этальной топологии этой схемы?

09.05.2010. Update: пункты 1б) и 8а) можно признать решенными; зато имеет смысл добавить пункт 8в).

Comments

[etre-moral.livejournal.com]

Про 1(в) - я думаю, что первое приближение это идея piont'а - ряд Гильберта и его производные алгебраически зависимы. Полагаю, что на вид получающегося дифуравнения будут всякие условия, впрочем.

[posic.livejournal.com]

Да, наверно. Только это отвечает на вопрос о включении кошулевых операд в контекст вопроса a); как насчет вопроса б)?

[etre-moral.livejournal.com]

Никаких идей, увы.

Про операды есть наивное уточнение вопроса 1а), - отличаются ли множества рядов Гильберта кошулевых симметричных операд и кошулевых shuffle операд? (Второе, очевидно, содержит первое.)

[etre-moral.livejournal.com]

P.S. А можешь пояснить про кошулевы модули в 1в)? И ты говоришь про кошулевы модули в категории S-модулей, или про алгебры над операдой?

[posic.livejournal.com]

Я имел в виду кошулевы модули над кошулевой ассоциативной алгеброй. Там гипотеза состоит в том, что если зафиксировать кошулеву алгебру, то ряды Гильберта всех кошулевых модулей над ней можно представить как рациональные функции с одним для всех таких модулей знаменателем. Почему так -- не могу объяснить, так примечталось. Эта гипотеза есть в нашей книжке.

[etre-moral.livejournal.com]

Это я понимаю. Вопрос - хочешь ли ты изучать ряды Гильберта кошулевых S-модулей над кошулевой операдой или ряды Гильберта кошулевых алгебр над кошулевой операдой (or both)?

[posic.livejournal.com]

А что такое S-модули? Изучать ряды Гильберта кошулевых алгебр над кошулевой операдой я хочу.

[etre-moral.livejournal.com]

Ну просто можно говорить об алгебре над операдой P, т.е. векторном пространстве V с морфизмом из операды P в операду эндоморфизмов V, а можно о левом модуле, т.е. коллекции Q и структуре модуля P\circ Q\to Q. (Так, операда это модуль над собой, но не алгебра.) Иногда говорят не "левый модуль", а twisted algebra, если тебе это вдруг более знакомо.

[posic.livejournal.com]

Такие модули бывают левые и правые, и это разные вещи, да? И откуда взялась буква S?

[etre-moral.livejournal.com]

Да, разные, - композиция линейна по одному аргументу и нелинейна по другому, и это приводит к массе эффектов.

S - это \mathbb{S}, на самом деле :) - я некогда был научен называть симметричные коллекции \mathbb{S}-модулями.

[posic.livejournal.com]

А, то есть S это просто в честь симметрической группы.

В целом, не могу ответить на твой вопрос, совсем не думал об этом.

[etre-moral.livejournal.com]

ОК, то есть твои исходные желания - про ряды кошулевых алгебр. Но в любом случае, неясно, как операдный вариант гипотезы звучит, если мы изучаем кошулевы алгебры над фиксированной операдой, ведь правда?

[posic.livejournal.com]

Абсолютно неясно. Достаточно сравнить операды Ass и Lie, чтобы начать ощущать всю меру этой неясности.

[etre-moral.livejournal.com]

Ага.