Определение функтора

[posic]

В связи с подзамочным постингом Винопивца публикуется мемуар о том, как начиналось мое знакомство с теорией категорий.

Я был тогда школьником предвыпускного класса. Выдался скучный, ленивый выходной день. За отсутствием лучших занятий, я решил прояснить для себя давно волновавший меня терминологический вопрос о разнице между понятиями прямой суммы и прямого произведения. Не в категориях, конечно, а просто для векторных пространств или групп.

Еще несколькими месяцами раньше я, безусловно, воспользовался бы учебником Ван-дер-Вардена, но ко времени описываемых событий я уже в нем разочаровался, прийдя к выводу, что учебник Ленга лучше. Поэтому я открыл книгу Ленга, точнее терминологический указатель к ней. В Ленге не было пояснений к прямых суммам и произведениям групп, а давались сразу определения для объектов категории.

Это само по себе еще не могло меня смутить; в конце концов, определение категории я уже где-то встречал. У меня осталось от него впечатление, сводившееся к недоумению от того, кому и зачем могла понадобиться такая нелепая и тривиальная вещь. Но кроме слова "категория", определение прямых сумм и произведений у Ленга использовало также слово "функтор". Этого я не знал.

Я снова полез в терминологический указатель и нашел страницу, где обсуждались функторы. Но определения функтора там не обнаружилось. Насколько можно было установить, в учебнике Ленга вообще не содержалось определения функтора, хотя определение вроде бы более базового понятия категории там присутствовало.

Вместо этого, Ленг давал определения двух частных случаев -- ковариантного функтора и контравариантного функтора. Шокированный и оскорбленный в своих лучших чувствах, я закрыл книгу Ленга, так и не узнав про прямые суммы и произведения.

А с чем едят категории и как ими пользоваться, мне потом рассказал М.Ф. Я к тому времени уже в выпускном классе учился.

Comments

[vinopivets.livejournal.com]

Спасибо. Мне в школе алгебра (в которую я заглянул) показалась чем-то крайне далеким от физики (настолько, насколько я представлял себе тогда физику), поэтому про всякие алгебраические объекты я узнал гораздо позже, чем про кратные интегралы и уравнения матфизики. Что, как я понял уже в институте, неправильно. Все равно, что изучать физику без термодинамики.

[posic.livejournal.com]

Кратные интегралы? Гхм, забыл уже, в каком классе я читал Рудина. В предпредвыпускном, возможно. По мне, там только и есть интересного, что вычисление интеграла от exp(-x^2) с помощью полярных координат да многомерная формула Стокса. Ну, еще преобразование Фурье на локально-компактной группе да обобщенные функции. А про уравнения матфизики я никогда ничего не знал и не знаю, кроме уравнения теплопроводности на компактных многообразиях, которое подробно изучал на 3 курсе. Еще раньше пытался разбирать науку про интегрируемые системы, но как-то не пошло.

А вообще интересен сюжет о том, когда и как разные люди понимают, какой наукой они хотят заниматься. Я помню два-три впечатления из младшешкольного возраста. Самое раннее и сильное, что 5*7=6^2-1, 8*10=9^2-1, и т.д., и что оказывается это можно доказать, написав (n-1)(n+1) и раскрыв скобки. Второе, из висевшего на стенах школьного кабинета математики -- что, оказывается, наряду с понятной коммутативностью есть еще загадочная ассоциативность, которая почему-то, наверно, нетривиальна, если ее специально выписывают, хотя отчего она может быть нетривиальной -- загадка. И еще туда же третье, чуть более позднее -- что коммутативность умножения натуральных чисел не удается доказать алгебраически, а нужно рисовать прямоугольник, и как ни хотелось бы обойтись здесь без геометрии, а не получается.

[akater.livejournal.com]

Интересно. Меня вот почему-то в детстве не гипнотизировали ряды равенств. Это было занятно, но казалось чем-то близким к ерунде (нумерологии). По-настоящему интриговали всякие сложные* кривые, их взаимные расположения, пересечения, ограничиваемые ими куски плокостей, аналитическая геометрия и всё такое. Теоретико-множественные определения геометрических понятий и тел.

Увы, не было никого вокруг, кто произнёс бы ключевые слова, типа «алгебраическая геометрия». Но я и не расстраивался — теория функций интриговала не меньше, а «настоящей наукой» представлялась вообще исключительно она.

___________
* «Сложные» тогда значило кубические или что-то вроде того. )

[etre-moral.livejournal.com]

Мне кажется, что меня проняло с категориями и функторами, когда я думал над тем, что значит слово "канонический" в предложении "V^{**} канонически изоморфно V, а V^* - нет" (ну и разных разговоров про "естественные биекции" между какими-то комбинаторными объектами (где всё несколько более мутно)).

А про твои впечатления из младшешкольного возраста - такие впечатления, мне кажется, очень сильно влияют на будущий выбор, да. Для меня одно из очень сильных (не самых первых, но относительно ранних) впечатлений - статья Фукса "О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде, и об упущенных возможностях" в Кванте.

[vi-z.livejournal.com]

А я в школе вирусы для IBM PC реверс инжинирил и писал. Когда захотелось чего-то более грандиозного, начал читать про ИИ. В универе на математику и проч старался не отвлекаться особенно. Исторически недавно только осознал, какая математика мне нужна для ИИ (оказалось, более-менее современная (в пределах 60 лет) геометрия и алгебра). Вот теперь приходится учить.

[akater.livejournal.com]

У меня было знакомство на семинаре в НМУ, по топологическим векторным пространствам. Объяснялись индуктивные и проективные пределы. На третьем курсе я был, кажется.

Существенно более позднее знакомство, но, в сущности, по той же причине.

[chaource.livejournal.com]

Про категории мнѣ разсказывалъ лично ты, на примѣрѣ тензорнаго произведенія векторныхъ пространствъ. Ни до этого, ни послѣ этого я не пользовался ими и не представляю себѣ, какъ ихъ можно использовать, скажемъ, въ физикѣ (т.е. для какихъ вычисленій они даютъ отвѣтъ быстрѣе).

Съ тензорами была у меня прямо бѣда, пока ты мнѣ ихъ не объяснилъ. Знакомые люди давали мнѣ читать ужасные книги типа "Тензорное исчисленіе для инженеровъ". Въ институтѣ разсказывали, что тензоромъ является наборъ чиселъ, сложнымъ образомъ зависящій отъ выбора базиса. Это всё равно, что объяснять кольцо многочленовъ какъ "обобщеніе на иксы" отъ процедуры умноженія десятичныхъ чиселъ въ столбикъ, ни единого раза не упоминая аксіомы кольца.

Кстати, я такъ и не знаю, какъ доказать коммутативность 2*3=3*2 безъ картинки, и почему "картинка" можетъ являться вообще доказательствомъ чего бы то ни было.

[chaource.livejournal.com]

Любимая сборная цитата изъ учебниковъ физики:

Векторомъ называется наборъ изъ N компонентъ, преобразующійся при замѣнѣ базиса по формулѣ (1). Базисомъ же называется наборъ изъ N векторовъ, компоненты которыхъ образуютъ невырожденную матрицу (т.е. матрицу съ детерминантомъ, не равнымъ 0). А детерминантомъ матрицы называется опредѣлитель, всѣ элементы котораго совпадаютъ съ элементами данной матрицы. Опредѣлитель - это результатъ вычисленій по формулѣ (2). Ковекторомъ называется векторъ, компоненты котораго при замѣнѣ базиса преобразуются какъ векторы базиса, т.е. по формулѣ (3).

Понять это невозможно; я могу лишь долго и нудно объяснить, по какой психологической причинѣ авторы думали, что именно такъ имъ надо было написать данную книгу.

Кстати, Ландау написалъ въ самомъ первомъ изданіи учебника механики, что симметричныя матрицы 3х3 диагонализуемы потому, что у всякой матрицы 3х3 всегда существуютъ 3 собственныхъ вектора. Это было въ аппендиксѣ вмѣстѣ съ "основами тензорной алгебры". Впослѣдствіи этотъ аппендиксъ былъ изъ книги убранъ. Для физической книги это типично: утвержденіе вродѣ какъ вѣрно, а доказательство содержитъ ошибку, и понять по-настоящему ничего нельзя.

[posic.livejournal.com]

Как я понял из разговоров в ЖЖ, категории и даже поликатегории играют важную роль в каких-то моделях квантовой теории поля. leblon наверно, может это подробно объяснить.

Про коммутативность умножения я бы сейчас изложил так. Большие разделы математики, такие как алгебра, геометрия и анализ, обеспечивают свое взаимодействие с одной стороны, и независимость с другой стороны, путем заимствования понятий. Алгебраической версией "прямоугольника" является понятие декартова произведения множеств. Чтобы доказать m*n = n*m, надо рассмотреть множества M и N из m и n элементов соответственно, тогда m*n = |MxN|, n*m = |NxM| (где x обозначает декартово произведение), между множествами MxN и NxM есть очевидная биекция, так что m*n = n*m следует из фундаментального принципа независимости числа предметов от порядка их пересчета. Последний тоже надо как-то доказывать, но это уже другой вопрос.

[leblon.livejournal.com]

"Ни до этого, ни послѣ этого я не пользовался ими и не представляю себѣ, какъ ихъ можно использовать, скажемъ, въ физикѣ (т.е. для какихъ вычисленій они даютъ отвѣтъ быстрѣе)."

А для каких вычислений "группы дают ответ быстрее"? Или же, для каких вычислений "векторные пространства дают ответ быстрее"? Просто и группы, и векторные пространства, и категории естественно возникают в физических проблемах разного типа, и полезно (хотя бы в целях экономии чернил) не объяснять каждый раз, что это такое, а формулировать утверждения используя общепринятую (в математике) терминологию, и не изобретать велосипед, а ссылаться на известные теоремы.

Конкретно n-категории возникают, например, так: все топологические теории поля в размерности n образуют n-категорию. Или так: все топологические граничные условия для данной топологической теории поля в размерности n образуют (n-1) категорию.

[nivanych.livejournal.com]

Простите чайника, но какое это
общее определение функтора?
Кроме дифункторов C^op x C -> D
(и диестественных преобразований) ничего и не знаю...

[posic.livejournal.com]

Естественно, никаких "функторов вообще" не бывает, бывают только ковариантные и контравариантные функторы, а также функторы нескольких аргументов, ковариантные по какой-то их части и контравариантные по остальным. В постинге же моем описываются мои тогдашние мысли и переживания.

[nivanych.livejournal.com]

;-) Спасибо.