Абсолютная квадратичная двойственность для полуалгебр

[posic]

Пусть T -- биградуированная полуалгебра с градуировками i и j над коалгеброй C, градуированной только градуировкой i, т.е. вся C сидит в градуировке j=0. Предположим, что C отрицательно градуирована, т.е. С_i=0 для i>0 и C₀=k. Тогда, как легко видеть, компоненты T_0j полуалгебры T образуют градуированную алгебру A, поскольку C кодействует на них тривиально. Что значит, что S является правым сплетенным произведением A и C? Это просто значит, что отображения левого кодействия T_ij → C_i⊗T_0j являются изоморфизмами векторных пространств.

Пусть теперь С -- отрицательно градуированная коалгебра, а S -- градуированная полуалгебра над C, снабженная также возрастающей фильтрацией F, такой что F_-1S=0 и F₀S = C. Рассмотрим присоединенную градуированную полуалгебру T; она биградуирована градуировкой n, индуцированной с градуировки S, и градуировкой j, индуцированной фильтрацией F на S. Положим i=n-j. Будем называть фильтрованную и градуированную полуалгебру S абсолютно кошулевой справа, если биградуированная полуалгебра T c градуировками i и j является правым сплетенным произведением отрицательно градуированной кошулевой коалгебры C и положительно градуированной кошулевой алгебры A с компонентами А_j = T_0j = F_jS_j.

Абсолютная квадратичная двойственность сопоставляет абсолютно кошулевой справа полуалгебре S, присоединенный фактор которой является сплетенным произведением кошулевой коалгебры C и кошулевой алгебры A, абсолютно кошулеву слева полуалгебру S^!, присоединенный фактор которой является сплетенным произведением кошулевой коалгебры D = A^! и кошулевой алгебры В = C^!. Таким образом, S^! является полуалгеброй над коалгеброй D. Присоединенные биградуированные полуалгебры T и T^! к S и S^! связаны двойственностью, описанной в предыдущем постинге.

Чтобы построить это соответствие, воспользуемся теорией относительной неоднородной квадратичной двойстственности для полуалгебр. Последняя устанавливает эквивалентность категорий градуированно-фильтрованных полуалгебр вида S, градуированно-фильтрованных полуалгебр вида S^!, и структур CDG-коалгебры на биградуированной коалгебре С⊗D (с коумножением, определенным в терминах нашего отображения сплетения), согласованных с обеими градуировками (т.е., если считать обе градуировки на C⊗D отрицательными, то дифференциал, элемент кривизны, и элементы замены связности должны иметь степень ноль относительно разности этих двух градуировок).

В последнем рассуждении есть тонкость, связанная с разной расстановкой знаков в определениях структур CDG-коалгебр, возникающих на сторонах S и S^!. Похоже, из этой проблемы знаков вылезает необходимость менять знак отображения сплетения первых компонент при построении квадратичной двойственности для структур сплетения (в предыдущем постинге по ссылке выше). Это представляется довольно естественным.

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Да-да, всё это очень интересно, надо додумать. У меня изначальный позыв был такого рода. Мне казалось, что в случае, когда над алгеброй есть естественный "тривиальный" модуль (аугментация и т.д.) и когда алгебра совпадает со своей решетка-двойственной (скажем, малая квантовая группа), комплекс для вычисления полубесконечных гомологий тривиального модуля с собой очень похож на что-то вроде полудвойственного модуля для алгебры экстов из тривиального модуля в себя. Короче говоря, полурегулярный модуль и стандартный комплекс для вычисления полубесконечных гомологий тривиального модуля -- обьекты одной природы. Конечно, ситуация, рассмотренная выше -- офигенно вырожденная, но я думал, что в общем случае имеется некая квадратично-линейно-скалярная двойственность для полуалгебр, и на двойственном обьекте к полуалгебре есть кривизна, так что никаких гомологий взять нельзя. Зато этот двойственный обьект действует на всех полубесконечных гомологиях над этой полуалгеброй, и при этом действии кривизна зануляется (обнуление аномалии, так сказать).

[posic.livejournal.com]

Ау, ты на связи? Я вот чего хочу сказать.

1. Вырожденные ситуации вообще, и разговоры о наборах аугментаций в частности, меня всегда пугали. Но давай я попробую пофантазировать, как бы все это могло выглядеть в полной общности.

Посылка: в ситуации с кривизной, обнуление аномалии, о котором ты говоришь, наблюдается, например, при взятии тензорного произведения правого и левого CDG-модулей над CDG-алгеброй. Такое тензорное произведение -- всегда комплекс. То же самое происходит при взятии Hom'а CDG-модулей, котензорного произведения CDG-комодулей и т.п. Никаких других ситуаций обнуления аномалии, связанной с кривизной, я вроде бы не знаю.

Фантазия: пусть у нас есть в каком-то смысле абсолютно неоднородно кошулева полуалгебра S (что бы это ни значило -- в однородном случае некоторое определение дано выше). Мы сопоставляем ей в каком-то смысле абсолютно кошулеву CDG-полуалгебру T (что бы это ни значило). Если исходная абс. неоднор. кошулева полуалгебра S -- это знакомая нам полуалгебра, связанная с тейтовской алгеброй Ли g, то соответствующая абс. кошулева CDG-полуалгебра T есть некая структура на пространстве полубесконечных внешних форм на g. Далее, правому S-полумодулю N должно быть можно сопоставить левый CDG-полумодуль над T, а левому S-полумодулю M -- правый CDG-полумодуль над T. Как векторные пространства, эти CDG-полумодули должны иметь вид N⊗T и T⊗M (все тензорные произведения -- над полем). У этих двух CDG-полумодулей должно быть можно взять полутензорное произведение над T, и результат должен быть комплексом, вычисляющим SemiTor^S(N,M). Как векторное пространство, этот комплекс должен иметь вид N⊗T⊗M. T.е. в случае тейтовской алгебры Ли это должен быть знакомый нам комплекс полубесконечных форм с коэффициентами в g^-модуле N⊗M.

2. Вопрос: куда все это ведет и почему ты этого так страстно жаждешь? Допустим, мы получим таким образом новую (или не совсем новую) конструкцию комплекса полубесконечных форм, и какого-нибудь еще стандартного комплекса, вычисляющего полубесконечные гомологии для ассоциативных entwining structures и т.п. Допустим даже, это можно будет считать неким "истинным объяснением" самого феномена комплекса полубесконечных форм, его существования и т.д. Есть ли у этого направления какое-нибудь продолжение?