![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttps://www.facebook.com/avorobey/posts/pfbid02Y4rpAcQBM8KKYk9JEPJuVYj564Qdzt6uv6h37kTMbQ5Va5z7SVs5596ixwKKXFTEl?comment_id=342202164819437
Задачка: рассмотрим две квадратные матрицы A и B одинакового размера, в компонентах которых вписаны независимые формальные переменные aij и bij. Напишем уравнение AB = I (единичная матрица). Это система полиномиальных уравнений для aij и bij. Запишем еще другую систему полиномиальных уравнений, BA = I. Предлагается доказать, что многочлены, составляющие вторую систему уравнений, принадлежат идеалу, порожденному многочленами первой системы уравнений, в кольце многочленов от aij и bij с целыми коэффициентами.
Доказательство. Я бы утверждал, что если для двух квадратных матриц A и B одинакового размера с компонентами из нетерова коммутативного кольца R (возможно, с нильпотентами) выполнено равенство AB = I, то тогда и BA = I. В самом деле, достаточно показать, что сюръективное R-линейное отображение A: Rn → Rn является инъективным. Это общий факт: если M -- нетеров R-модуль, то всякое сюръективное R-линейное отображение A: M → M инъективно. В такой формулировке кольцо R может даже быть некоммутативным. Доказывается так: рассмотрим бесконечную вправо цепочку сюръективных отображений M → M → M → M → ... (все отображения в цепочке равны A). Если отображение A имеет ненулевое ядро, то ядро отображения Ak из первого члена цепочки в ее (k+1)-й член будет строго большим, чем ядро отображения Ak−1 из первого члена цепочки в k-й член. Получается бесконечная возрастающая последовательность подмодулей в M, противоречие.
Теперь, когда мы доказали наше утверждение, можно применить его к факторкольцу кольца многочленов с целыми коэффициентами от формальных матричных элементов двух квадратных матриц A и B по идеалу соотношений, связанных с матричным уравнением AB = I для формальных переменных, стоящих в компонентах матриц. Получится вывод, что уравнение BA = I тоже выполнено для матриц над этим факторкольцом, что и требовалось доказать с самого начала.
Задачка: рассмотрим две квадратные матрицы A и B одинакового размера, в компонентах которых вписаны независимые формальные переменные aij и bij. Напишем уравнение AB = I (единичная матрица). Это система полиномиальных уравнений для aij и bij. Запишем еще другую систему полиномиальных уравнений, BA = I. Предлагается доказать, что многочлены, составляющие вторую систему уравнений, принадлежат идеалу, порожденному многочленами первой системы уравнений, в кольце многочленов от aij и bij с целыми коэффициентами.
Доказательство. Я бы утверждал, что если для двух квадратных матриц A и B одинакового размера с компонентами из нетерова коммутативного кольца R (возможно, с нильпотентами) выполнено равенство AB = I, то тогда и BA = I. В самом деле, достаточно показать, что сюръективное R-линейное отображение A: Rn → Rn является инъективным. Это общий факт: если M -- нетеров R-модуль, то всякое сюръективное R-линейное отображение A: M → M инъективно. В такой формулировке кольцо R может даже быть некоммутативным. Доказывается так: рассмотрим бесконечную вправо цепочку сюръективных отображений M → M → M → M → ... (все отображения в цепочке равны A). Если отображение A имеет ненулевое ядро, то ядро отображения Ak из первого члена цепочки в ее (k+1)-й член будет строго большим, чем ядро отображения Ak−1 из первого члена цепочки в k-й член. Получается бесконечная возрастающая последовательность подмодулей в M, противоречие.
Теперь, когда мы доказали наше утверждение, можно применить его к факторкольцу кольца многочленов с целыми коэффициентами от формальных матричных элементов двух квадратных матриц A и B по идеалу соотношений, связанных с матричным уравнением AB = I для формальных переменных, стоящих в компонентах матриц. Получится вывод, что уравнение BA = I тоже выполнено для матриц над этим факторкольцом, что и требовалось доказать с самого начала.
