Еще об экзотических производных категориях

[posic]

В развитие http://posic.livejournal.com/255513.html и http://posic.livejournal.com/222799.html

Похоже, общее правило такое: для (квазикогерентных) пучков на бесконечномерных схемах (про-схемах проконечного типа) надо рассматривать производную категорию первого рода, для пучков на инд-схемах инд-конечного типа -- производную категорию второго рода.

Для пучков на конечномерных схемах технически хороши как производная, так и копроизводная категории, и надо выбирать. В этом случае на триангулированной категории, измеряющей разницу между производными категориями первого и второго рода, живут когомологии Тейта. Причем в категорию "конечномерных" попадают как просто нетеровы схемы, так и некоммутативные аффинные схемы конечной гомологической размерности.

Что касается спалтенштейновских "K-инъективных резольвент" для комплексов пучков, то их существование доказывается, в общности произвольных абелевых категорий Гротендика, в работе трех испанских авторов.

Что же до контрапроизводных категорий, то они технически хороши только для инд-нульмерных инд-схем (ну и еще в случае конечной гомологической размерности). А нульмерные схемы обычно аффинны, помимо прочего. Что приводит нас к вопросу: имеет вообще смысл пытаться определить контракогерентные пучки на формальных схемах или инд-схемах вне аффинного случая (в котором достаточно контрамодулей над топологическими кольцами)?

04.05.09. Update: к последнему абзацу -- совершенно случайно я наткнулся на статью, в которой (и далее по ссылкам) объясняется (хотя авторы и не знают таких слов), что контрапроизводные категории прекрасно себя ведут для модулей над коммутативными нетеровыми кольцами конечной размерности Крулля и некоммутативными нетеровыми кольцами с дуализирующими комплексами; в ситуации c дуализирующим комплексом имеется даже разновидность комодульно-контрамодульного соответствия.

Так что задача определения контракогерентных пучков на, по крайней мере, нетеровых формальных схемах выглядит вполне осмысленной. Вернее, выглядела бы -- если бы можно было понять, что такое контракогерентный пучок на обыкновенной (не формальной) неаффинной схеме, или если это просто квазикогерентный пучок (как в аффинном случае), то как работать с бесконечными произведениями квазикогерентных пучков на неаффинных схемах.

Comments

[roma.livejournal.com]

А к категориям особенности (и матричным факторизациям) эти экзотические категории не имеют отношения?
какой простейший пример этой экзотической категории (или Ext'а в ней)?

[posic.livejournal.com]

Про особенности я слышал только, что они каким-то образом связаны с матричными факторизациями, а про матричные факторизации -- что они суть (конечно-порожденные свободные) CDG-модули над Z/2-градуированными CDG-алгебрами весьма специального вида (которые как просто Z/2-градуированные алгебры суть алгебры многочленов от коммутирующих четных переменных, что-то такое). Для CDG-модулей действительно можно определить производные категории второго рода (копроизводную и контрапроизводную), а производную категорию первого рода (обыкновенную) -- нельзя.

Более общо, можно рассмотреть какую-нибудь схему с функцией на ней, и связать с этими данными Z/2-градуированную DG-категорию, объектами которой будут пары (квази)когерентных пучков с морфизмами между ними в обе стороны, композиции которых суть умножения на данную функцию. У такой DG-категории есть производная категория второго рода (копроизводная или абсолютная производная -- в зависимости от того, квазикогерентные пучки или когерентные).

Классические примеры экзотических производных категорий возникают в кошулевой двойственности. (Обыкновенная) производная категория модулей над конечномерной алгеброй Ли эквивалентна ко/контрапроизводной категории DG-модулей над ее стандартным когомологическим комплексом. Если алгебра Ли редуктивна, то нетривиальному неприводимому модулю над ней соответствует при этой эквивалентности ацикличный DG-модуль, который, однако, является нетривиальным объектом экзотической производной категории DG-модулей. Аналогичным обраом производная категория D-модулей эквивалентна копроизводной категории DG-модулей над комплексом де Рама (или CDG-модулей, если у нас дифференциальные операторы, действующие в расслоении, а на расслоении задана неплоская связность).

Совсем простой пример -- возьмем внешнюю алгебру \Lambda с одной образующей \eps и рассмотрим комплекс \Lambda-модулей, все члены которого совпадают с \Lambda, а все дифференциалы суть умножения на \eps. Это такой бесконечный в обе стороны ацикличный, но не стягиваемый комплекс проективных и инъективных \Lambda-модулей. Он соответствует при кошулевой двойственности модулю k[x,x^{-1}] над кольцом многочленов от одной переменной k[x]. Разницу между производными категориями первого рода (обыкновенными) и второго рода (экзотическими) можно описать так, что в первых этот комплекс \Lambda-модулей представляет нулевой объект, а во вторых -- ненулевой.

На уровне абстрактных DG-категорий, производные категории первого и второго рода оказываются конструкциями, зависящими от разных типов начальных данных. Пусть у тебя есть DG-категория, от которой ты берешь гомотопическую категорию и хочешь профакторизовать ее по чему-нибудь, чтобы получить производную категорию. Чтобы получить производную категорию первого рода, тебе нужно понятие ацикличного объекта, для чего нужно понятие когомологий -- то есть на DG-категории должен быть задан забывающий функтор в категорию комплексов абелевых групп, или семейство таких функторов, что-то такое. Чтобы получить производную категорию второго рода, на твоей DG-категории нужна структура точной или абелевой DG-категории, то есть должен быть задан класс коротких точных последовательностей объектов DG-категории.