![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНашел ошибку в своем 300-страничном тексте. Ну, то есть, просто ляп. К счастью для меня, это (пока) одиноко стоящий ляп: на неверное утверждение ничего не опиралось, оно нигде не использовалось. И зато в результате оказалось, что дела обстоят интереснее, чем представлялось раньше.
Имеется ситуация: на двух (абелевых) категориях есть модельные структуры. С произвольными пределами и копределами, функториальными факторизациями. Между этими двумя категориями есть пара сопряженных функторов, назовем их что ли R: C->D и L: D->C (соответственно, правый и левый). Эти функторы НЕ являются ни эквивалентностями Квиллена, ни даже сопряженными функторами Квиллена. Тем не менее, их производные функторы являются взаимно-обратными эквивалентностями гомотопических категорий (в смысле, локализаций C и D по слабым эквивалентностям).
В каком смысле производные функторы? В самом банальном: ограничиваем R на полную подкатегорию фибрантных объектов в C, компонуем с функтором локализации D -> Ho D, и оказывается, что полученный функтор из категории фибрантных объектов в C в Ho D факторизуется через единственный функтор Ho C -> Ho D, вот это и есть наш производный функтор. Аналогично для L, только его надо ограничивать на кофибрантные объекты.
Другие свойства функторов L и R:
0. Ни один из функторов L и R не сохраняет ни фибрантность объектов, ни их кофибрантность.
1. Функтор R переводит фибрантные объекты в кофибрантные, а функтор L -- кофибрантные объекты в фибрантные. Ограничения функторов R и L являются взаимно-обратными эквивалентностями между категориями фибрантных объектов в C и кофибрантных объектов в D.
2. Функтор R переводит тривиальные расслоения (т.е. расслоения, являющиеся слабыми эквивалентностями) в слабые эквивалентности. Функтор L переводит тривиальные корасслоения в слабые эквивалентности.
3. Если Y -- фибрантный объект C, а X -- кофибрантный объект D, то морфизм X->RY является слабой эквивалентностью тогда и только тогда, когда соответствующий морфизм LX->Y является слабой эквивалентностью.
Как относится к такой ситуации наука о модельных категориях?
Имеется ситуация: на двух (абелевых) категориях есть модельные структуры. С произвольными пределами и копределами, функториальными факторизациями. Между этими двумя категориями есть пара сопряженных функторов, назовем их что ли R: C->D и L: D->C (соответственно, правый и левый). Эти функторы НЕ являются ни эквивалентностями Квиллена, ни даже сопряженными функторами Квиллена. Тем не менее, их производные функторы являются взаимно-обратными эквивалентностями гомотопических категорий (в смысле, локализаций C и D по слабым эквивалентностям).
В каком смысле производные функторы? В самом банальном: ограничиваем R на полную подкатегорию фибрантных объектов в C, компонуем с функтором локализации D -> Ho D, и оказывается, что полученный функтор из категории фибрантных объектов в C в Ho D факторизуется через единственный функтор Ho C -> Ho D, вот это и есть наш производный функтор. Аналогично для L, только его надо ограничивать на кофибрантные объекты.
Другие свойства функторов L и R:
0. Ни один из функторов L и R не сохраняет ни фибрантность объектов, ни их кофибрантность.
1. Функтор R переводит фибрантные объекты в кофибрантные, а функтор L -- кофибрантные объекты в фибрантные. Ограничения функторов R и L являются взаимно-обратными эквивалентностями между категориями фибрантных объектов в C и кофибрантных объектов в D.
2. Функтор R переводит тривиальные расслоения (т.е. расслоения, являющиеся слабыми эквивалентностями) в слабые эквивалентности. Функтор L переводит тривиальные корасслоения в слабые эквивалентности.
3. Если Y -- фибрантный объект C, а X -- кофибрантный объект D, то морфизм X->RY является слабой эквивалентностью тогда и только тогда, когда соответствующий морфизм LX->Y является слабой эквивалентностью.
Как относится к такой ситуации наука о модельных категориях?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-04-27 09:23 am (UTC)Кажется никак не относится. Похожая ситуация встретилась недавно и мне, но удалось подправить одну из модельных категорий и превратить сопряженные функторы в пару Квиллена, а после локализации даже в эквивалентность.
Вообще же все это приводит к разговору о неадекватности понятия Квилленовской пары. Неадекватность понятия эквивалентности Квиллена стала очевидна после примера Марко Шлихтинга. Для того чтобы выработать работающее понятие нужно, видимо, развить идею Хови о том, что модельные категории должны образовывать модельную 2-категорию, или другой подобный формализм.
no subject
Date: 2009-04-27 09:49 am (UTC)no subject
Date: 2009-05-04 09:34 pm (UTC)Эквивалентность гомотопических категорий индуцируемая функтором между модельными категориями встречается постоянно. Почему нужно отказываться от рассмотрения таких функторов даже если они не сохраняют К-теорию?
Вообще же наверное неправильно думать, что есть некий единственно верный тип эквивалентностей. Наверняка их много разных, как и для пространств (сильные, слабые, гомологические и т.д.).