Еще о комодулях и контрамодулях

[posic]

Контрамодули устроены сложнее комодулей во многих отношениях, особенно когда речь идет о коалгебре над полем. Всякий комодуль является объединением конечномерных; существуют контрамодули, которые даже не вкладываются в проективный предел конечномерных. Конечномерный комодуль является комодулем над конечномерной подкоалгеброй; для конечномерных контрамодулей это неверно.

Для комодулей и контрамодулей над кокольцами над кольцами разница стирается лишь отчасти. Категория комодулей (в предположении условия плоскости для кокольца) удовлетворяет аксиомам Ab5 и Ab3*, категория контрамодулей (в предположении условия проективности для кокольца) удовлетворяет только аксиомам Ab3 и Ab4*. В категории комодулей (в предположении условия плоскости) есть множество образующих; непонятно, есть ли в категории контрамодулей множество кообразующих (уже для контрамодулей над коалгеброй над полем непонятно).

Тем не менее, по крайней мере в двух отношениях контрамодули оказываются проще комодулей. Во-первых, в категории контрамодулей над произвольным кокольцом есть произвольные коядра и прямые суммы (теорема Барра); для комодулей и ядер + прямых произведений это известно только при условии плоскости.

Во-вторых, как теперь выясняется, производная категория DG-контрамодулей над DG-коалгеброй C (над полем) эквивалентна минимальной полной подкатегории в гомотопической категории, содержащей DG-контрамодуль Hom_k(C,k) и замкнутой относительно прямых сумм. Аналогичное утверждение для производной категории DG-комодулей, DG-комодуля C, и прямых произведений доказать не удается.

Доказательства обоих последних результатов используют теоретико-множественные методы (контроль мощности и т.п.).

Comments

[potap.livejournal.com]

Интересно. Я могу, навсакидку, предложить только одно определение модуля над коалгеброй delta: A -> A o A -- это такой морфизм eta: M -> A o M, что два отображения M -> A o A o M, составленные из delta и eta, совпадают. Это что: комодуль или контрамодуль?

[posic.livejournal.com]

То, что вы написали -- это комодуль. Контрамодуль -- это отображение pi: Hom(A,P) -> P, такое что два отображения Hom(A,Hom(A,P)) -> P, составленные из delta и pi, совпадают. Подразумевается изоморфизм Hom(A,Hom(A,P) = Hom(A o A, P). Это определение, конечно, не так сразу приходит в голову, как определение комодуля; потому-то про него, возможно, и забыли.

[potap.livejournal.com]

Занятно.

[leblon.livejournal.com]

По-моему, бывают еще нтра-модули над алгеброй A. Они же коконтрамодули. Это отображение pi: M-> Hom(A,M), так что если применить его дважды, получив таким образом элемент из Hom(A,Hom(A,M)), а потом применив умножение на A, получим такой же элемент из Hom(A,M), какой получается непосредственным применением pi.

Например, если A - алгебра гладких функций на многообразии X,M - линейное пространство распределений на гладких сечениях некоего векторного расслоения E на X, то на M есть естественная структура нтра-модуля над алгеброй A.

[posic.livejournal.com]

О да, они бывают и играют важную роль, но только при этом они суть совершенно то же самое, что просто модули. Отображений M -> Hom(A,M) ровно столько же, сколько отображений A o M -> M, как учит нас линейная алгебра. И отображение первого типа задает структуру "нтрамодуля" ровно тогда, когда соответствующее отображение второго типа задает структуру модуля.

Ваш пример -- он к тому, что двойственные пространства к модулям суть "нтрамодули", и именно поэтому они суть на самом деле просто модули, как мы знаем из курсов алгебры.