posic | Слабые A_\infy-коалгебры = CA

интересны тем, что для них можно построить комодульно-контрамодульное соответствие.

По определению, структура слабой A_∞-коалгебры на градуированном векторном пространстве C -- это структура DG-алгебры на свободной градуированной алгебре с единицей, порожденной C[-1]. Отметим, что A_∞-коалгебры в широком смысле -- см. http://posic.livejournal.com/250703.html -- не являются слабыми A_∞-коалгебрами, но A_∞-коалгебры в узком смысле являются.

(Гомотопическая) категория слабых A_∞-комодулей над слабой A_∞-коалгеброй C и слабых A_∞-морфизмов между ними определяется как (гомотопическая) категория свободных, если забыть дифференциал, DG-модулей над соответствующей DG-алгеброй. Аналогичная категория контрамодулей определяется как аналогичная категория косвободных модулей. Все это относится к коаугментированным = некоунитальным коалгебрам и ко/контрамодулям над ними; коунитальные некоаугментированные слабые A_∞-коалгебры и ко/контрамодули соответствуют таким же CDG-алгебрам и модулям.

Теперь, гомотопические категории свободных и косвободных CDG-модулей над свободной, если забыть дифференциал, CDG-алгеброй эквивалентны копроизводной = контрапроизводной категории CDG-модулей, и следовательно, эквивалентны между собой. В случае, когда A_∞-коалгебра C сводится к CDG-коалгебре, эта копроизводная = контрапроизводная категория CDG-модулей эквивалентна также копроизводной категории CDG-комодулей над C = контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C.

Ср. http://posic.livejournal.com/240026.html