Из письма к Т.П.
Oct. 24th, 2008 12:34 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic<...> An algebra with m_0, m_1, and m_2 is just a CDG-algebra. By the way, algebras with m_0 should have m_1^2 not equal to 0, so their cohomology does not exist and it is not so obvious what should be meant by a quasi-isomorphism between them.
My own philosophy of the last 10 years or so is that algebras with m_0 are not the right object to consider. The good objects are:
1. A_\infty algebras (with m_1, m_2, m_3, ...)
2. CDG-coalgebras (with dual versions of m_0, m_1, and m_2)
In particular, even the de Rham CDG-algebra (corresponding to a vector bundle with a connection) should be considered as a coalgebra! I.e., the right object is the coring of polyvector fields over the ring of functions, with a certain structure on it corresponding to the de Rham differential on forms; this is called "a quasi-differential coring".
Furthermore, I actually know what is a quasi-isomorphism of conilpotent CDG-coalgebras. One considers a certain kind of good filtrations on coalgebras, for which the induced differential on the associated graded coalgebra always has zero square; so one can speak of filtered quasi-isomorphisms even though nonfiltered quasi-isomorphisms are not defined.
As to Koszul duality, there are two versions:
(1) Augmented (or non-unital) DG-algebras <---> conilpotent DG-coalgebras.
(2) Unital (but nonaugmented) DG-algebras <---> conilpotent CDG-coalgebras.
(Conilpotent coalgebras are always coaugmented, of course, or equivalently one can consider them as noncounital.)
For A_\infty-algebras, these dualities become just equivalences of categories:
(1) Augmented (or non-unital) A_\infty-algebras with A_\infty-morphisms between them = cofree DG-coalgebras.
(2) Strictly unital, with nonzero unit (but nonaugmented) A_\infty-algebras with strictly unital A_\infty-morphisms between them = cofree CDG-coalgebras.
Here "cofree" means cofree as a graded coalgebra (in the category of conilpotent graded coalgebras).
My favorite source on A_\infty-algebras is Lefevre-Hasegawa's dissertation (see Keller's homepage), which I have partly read just recently. Unfortunately, there is not a word about CDG-coalgebras there, he only knows DG-coalgebras.
<...> bar/cobar constructions and Koszul duality are the same thing. The only difference is that algebras sometimes have good generating subspaces, which have the Koszul property, but are significantly smaller than the whole algebra. In this case the Koszul dual coalgebra can be used as a replacement of the bar construction, being much smaller than the bar construction. The whole algebra is always a Koszul generating subspace of itself, and when you consider it as such, the Koszul dual object is just the bar construction.
I don't know if the notion of a Koszul generating subspace can be generalized to the A_\infty-algebras situation, except trivially by considering the whole A_\infty-algebra as the generating subspace.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2008-10-23 09:26 pm (UTC)no subject
Date: 2008-10-23 10:47 pm (UTC)1. Бар-конструкция CDG-алгебры с ненулевым элементом кривизны -- всегда ациклична.
1a. В кошулевой двойственности участвуют CDG-коалгебры. Для CDG-алгебр я кошулевой двойственности не знаю (кроме как если предполагать локальную конечномерность и т.д. и просто переходить к дуальной коалгебре).
1б. Попросту, CDG-структуры в кошулевой двойственности происходят из неоднородных соотношений с компонентами в градуировках 0, 1, 2 ("квадратично-линейно-скалярные"). Такие соотношения имеют смысл в алгебрах, а не в коалгебрах. Соответственно, CDG-структуры возникают на коалгебрах, а не на алгебрах. (Если говорить о "косоотношениях" в коалгебрах, то там имеют смысл "косоотношения" с компонентами в градуировках 2, 3, 4,... -- тоже неоднородные квадратичные, но в другом смысле.)
2. Хорошего понятия производной категории CDG-модулей в общем случае не видно. Производная категория в обычном смысле слова, т.е. первого рода (результат обращения квазиизоморфизмов) не существует, т.к. нет понятия квазиизоморфизма. Производные категории второго рода (копроизводная, контрапроизводная), конечно, можно определить, но работать с ними сколько-нибудь удобно лишь при сильных ограничивающих предположениях (лучшее из которых -- что underlying градуированная алгебра имеет конечную гомологическую размерность). В этом отличие от CDG-ко/контрамодулей, для которых ко/контрапроизводная категория всегда очень хороша.
2a. Функтор Tor для CDG-модулей не слишком приятно определять, кроме как в том же предположении конечной гомологической размерности.
2б. Вообще уже на уровне просто комплексов модулей, без всяких DG-структур, можно видеть, что (неограниченные) производные категории хорошо сочетаются с модулями, копроизводные -- с комодулями, контрапроизводные -- с контрамодулями. Чтобы это переменить, надо перейти от векторных пространств к провекторным пространствам. Если СDG-модули, из провекторных пространств составленные, рассматривать, может быть, и хорошо все станет. Но это более сложная жизнь.
Чем, например, объект, дуальный к CDG-алгебре де Рама, лучше самой CDG-алгебры де Рама?
Он принадлежит лучшей категории. То есть сам по себе он просто эквивалентен, но другие аналогичные ему объекты -- лучше. Разница проявляется, когда рассматриваются аналоги CDG-алгебры де Рама, являющиеся бесконечномерными модулями над аналогами функций (хотя бы даже локально конечномерными, но с бесконечным числом градуировочных компонент).
Попросту, для меня предназначение CDG-алгебры де Рама -- стоять в правой стороне кошулевой двойственности, в которой в левой стороне стоит алгебра дифференциальных операторов (действующих на сечениях нашего векторного расслоения). Хотелось бы это обобщить и заменить дифференциальные операторы на достаточно общее фильтрованное кольцо с условиями кошулевости (плюс плоскости/проективности над нулевой компонентой фильтрации, но это уже детали). Но тогда дуализация (связывающая векторные поля, порождающие дифференциальные операторы, и 1-формы, порождающие алгебру де Рама) -- нежелательна. Если уж слева неизбежны векторные поля, то пусть и справа будут векторные поля.
Это проявляется потом в теореме об эквивалентности производных категорий модулей над обобщениями дифференциальных операторов и модулей над обобщениями алгебры де Рама -- справа в этой эквивалентности будут стоять комодули или контрамодули. Там существенная разница: даже для какой-нибудь градуированной алгебры многочленов от одной переменной переменной и дуальной к ней градуированной коалгебры -- градуированные модули, комодули и контрамодули суть три весьма разные категории. Градуированный модуль k[x,x^{-1}] над k[x] не является ни комодулем, ни контрамодулем над дуальной коалгеброй.
no subject
Date: 2008-10-23 11:16 pm (UTC)no subject
Date: 2008-10-24 10:10 am (UTC)no subject
Date: 2008-10-23 11:37 pm (UTC)При этом, конечно, векторные пространства вкладываются в провекторные пространства, но этот функтор не сохраняет интересующие нас операции (бар-конструкции и т.п.), поскольку там где для векторных пространств берут прямую сумму, для провекторных пространств надо брать прямое произведение (в категории провекторных пространств уже).
no subject
Date: 2008-10-23 09:51 pm (UTC)эту терминологию,...Правильный -- это просто имеющий глубокую теорию ?
no subject
Date: 2008-10-23 10:51 pm (UTC)Ну типа да.
no subject
Date: 2008-10-23 11:03 pm (UTC)- Ну типа да.
Сила.