Или, скажем, теория категорий
Apr. 1st, 2021 03:12 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧему нас учит теория категорий? Тому, что самые важные категории -- это абелевы категории, а среди абелевых самые важные -- это категории Гротендика.
На самом деле, теория категорий ничему такому теперь уже не учит; об этом был написан предыдущий постинг. Теперь самые важные категории -- это вообще не категории, а (бесконечность,1)-категории. Точка зрения, изложенная в первом абзаце, устарела.
При этом эта устаревшая точка зрения остается в своем контексте неоспариваемой догмой. Никто не сомневается в том, что если уж писать про аддитивные или абелевы категории -- то про категории Гротендика!
Тем временем, одним из моих планов-обещаний остается написать книгу, цель которой -- опровергнуть устаревшую догму. Не подвергаемую сомнению по существу, но стремительно утрачивающую релевантность.
По существу, догма упускает половину картины. Конечно, категории Гротендика важны. Но у них есть "ковариантно двойственные" аналоги, которых вы не замечаете.
Поэтому вы учите студентов, что инъективные объекты в "естественно возникающих" категориях встречаются чаще, чем проективные. На самом деле этот тезис из учебных курсов верен только в том смысле, что категории квазикогерентных пучков абелевы, а контрагерентных копучков -- точные.
Категории Гротендика -- это такие категории комодулей, в широком смысле слова. А есть еще категории контрамодулей. Они называются "абелевы локально представимые категории с достаточным количеством проективных объектов". Или "категории модулей с аддитивными операциями ограниченной бесконечной арности".
Я написал про эти абелевы категории ряд статей. Про то, как они, их примеры и свойства, возникают в разных контекстах. Допустим, появится еще и давно задуманная книга (на основе одного из препринтов 2017 года -- последнего, остающегося неопубликованным). От этого что-нибудь изменится? Не дает ответа.
Непонятен даже смысл вопроса. Что вообще на самом деле должно измениться? В результате чего бы то ни было?
На самом деле, теория категорий ничему такому теперь уже не учит; об этом был написан предыдущий постинг. Теперь самые важные категории -- это вообще не категории, а (бесконечность,1)-категории. Точка зрения, изложенная в первом абзаце, устарела.
При этом эта устаревшая точка зрения остается в своем контексте неоспариваемой догмой. Никто не сомневается в том, что если уж писать про аддитивные или абелевы категории -- то про категории Гротендика!
Тем временем, одним из моих планов-обещаний остается написать книгу, цель которой -- опровергнуть устаревшую догму. Не подвергаемую сомнению по существу, но стремительно утрачивающую релевантность.
По существу, догма упускает половину картины. Конечно, категории Гротендика важны. Но у них есть "ковариантно двойственные" аналоги, которых вы не замечаете.
Поэтому вы учите студентов, что инъективные объекты в "естественно возникающих" категориях встречаются чаще, чем проективные. На самом деле этот тезис из учебных курсов верен только в том смысле, что категории квазикогерентных пучков абелевы, а контрагерентных копучков -- точные.
Категории Гротендика -- это такие категории комодулей, в широком смысле слова. А есть еще категории контрамодулей. Они называются "абелевы локально представимые категории с достаточным количеством проективных объектов". Или "категории модулей с аддитивными операциями ограниченной бесконечной арности".
Я написал про эти абелевы категории ряд статей. Про то, как они, их примеры и свойства, возникают в разных контекстах. Допустим, появится еще и давно задуманная книга (на основе одного из препринтов 2017 года -- последнего, остающегося неопубликованным). От этого что-нибудь изменится? Не дает ответа.
Непонятен даже смысл вопроса. Что вообще на самом деле должно измениться? В результате чего бы то ни было?
