О замкнутых модельных категориях

[posic]

Чукча не читатель, поэтому я не читал первоисточников, то есть Квиллена. Видимо, я немало потерял на этом, но так уж получилось. О замкнутых модельных категориях я впервые узнал из книжки Гельфанда и Манина. Все примеры замкнутых модельных категорий, которые там приводились, строились по одному шаблону: слабые эквивалентности -- это то-то, корасслоения -- это то-то, а расслоения -- это то, что восстанавливается по заданным классам слабых эквивалентностей и корасслоений согласно аксиомам замкнутой модельной категории. То есть как морфизмы, обладающие соответствующим свойством подъема. Ну или наоборот -- расслоения явно описываются, а корасслоения определяются свойством подъема. Мне это казалось мало вдохновляющим, и я не стал особенно вникать в замкнутые модельные категории, как ни пропагандировал их мне мой друг С.А.

Все изменилось в 2007 году, когда у меня сложилось ощущение, что аксиомы замкнутых модельных категорий могут быть адекватной организующей схемой для описания свойств комплексов полумодулей и полуконтрамодулей. Я придумал тогда конструкцию соответствующих модельных структур, и в процессе этого придумывания гораздо лучше, чем до этого, разобрался во всяких тонких вопросах соответствующей теории. С тех пор я считаю, что строить замкнутые модельные структуры может быть очень полезно, хотя до сих пор не знаю, зачем они нужны. Главная особенность той конструкции замкнутых модельных структур состояла в том, что все три класса морфизмов -- слабые эквивалентности, расслоения, и корасслоения -- описывались совершенно явно, хотя не слишком просто. Это мне понравилось.

Теперь я решил разобраться с замкнутыми модельными структурами на категориях DG-алгебр и DG-коалгебр, для чего открыл старые статьи В.Х., где они строятся. Оказалось, что конструкция для DG-алгебр (с, так сказать, "слабыми эквивалентностями первого рода") достаточно прозрачна, в то время как конструкция для конильпотентных DG-коалгебр (со "слабыми эквивалентностями второго рода") гораздо более сложная и существенным образом опирается на конструкцию для DG-алгебр, используя функторы кошулевой двойственности. Разумеется, кошулева двойственность является целью всего мероприятия; тут же получается, как стало дурным обычаем в работах на эту тему, что одна из сторон желаемой двойственности определяется в терминах другой стороны. При этом если корасслоения в замкнутой модельной категории DG-коалгебр определяются просто как инъективные отображения, а слабые эквивалентности еще можно, хотя и не вполне удачно, определить как замыкание относительно произведений и частных класса фильтрованных квази-изоморфизмов, то для расслоений никакого явного описания не предлагается.

Я придумал гипотезу о том, как бы могли просто описываться расслоения DG-коалгебр, по аналогии с ситуацией DG-комодулей, для которых, кажется, все достаточно понятно. Гипотеза состоит, если попросту, в том, что является ли морфизм DG-коалгебр расслоением, от дифференциалов на этих коалгебрах не зависит (вроде бы я могу это проверить для морфизма фибрантных DG-коалгебр). Но что-то В.Х. уже неделя как не отвечает на мое письмо на эту тему.

Update: В.Х. не знает ответа на мой вопрос.

Comments

[siyuv.livejournal.com]

Я придумал тогда конструкцию соответствующих модельных структур -- Где об этом можно прочитать?

до сих пор не знаю, зачем они нужны -- Наверное разным людям они нужны для разных вещей. Применений достаточно много. Для меня это удобный инструмент для построения гомотопических локализаций; алгебраистам бывают полезны МК для построения различных резольвент, но они редко ими пользуются.

Теперь я решил разобраться с замкнутыми модельными структурами на категориях DG-алгебр и DG-коалгебр, для чего открыл старые статьи В.Х. -- можно дать наводку по-подробнее? Я посмотрел статью 2001 года, где В.Х. строит МК на dg унитарных коалгебрах, которая оказывается эквивалентной построенной им ранее МК на dg Ли алгебрах.

[posic.livejournal.com]

Где об этом можно прочитать?
http://arxiv.org/abs/0708.3398 , Section 9.

Применений достаточно много.
Я тут заглянул наконец в Квиллена, и обнаружил, что он определяет на гомотопической категории пунктированной замкнутой модельной категории довольно богатую на вид структуру -- функторы надстройки и петель и аналоги выделенных треугольников. Вы не знаете, этим кто-нибудь пользуется за пределами алгебраической топологии?

можно дать наводку по-подробнее?
Та самая статья 2001 года, о которой вы пишете, и предшествующая статья 1997 года, на которую он в статье 2001 года ссылается.

[siyuv.livejournal.com]

этим кто-нибудь пользуется за пределами алгебраической топологии? -- за пределами алгебраической топологии в основном встречаются стабильные МК, а в стабильном случае эта структура превращает гомотопическую категорию в триангулированную. Так что да, используется.

Статьи посмотрю поподробней завтра. Спасибо.