О замкнутых модельных категориях
Oct. 3rd, 2008 09:42 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧукча не читатель, поэтому я не читал первоисточников, то есть Квиллена. Видимо, я немало потерял на этом, но так уж получилось. О замкнутых модельных категориях я впервые узнал из книжки Гельфанда и Манина. Все примеры замкнутых модельных категорий, которые там приводились, строились по одному шаблону: слабые эквивалентности -- это то-то, корасслоения -- это то-то, а расслоения -- это то, что восстанавливается по заданным классам слабых эквивалентностей и корасслоений согласно аксиомам замкнутой модельной категории. То есть как морфизмы, обладающие соответствующим свойством подъема. Ну или наоборот -- расслоения явно описываются, а корасслоения определяются свойством подъема. Мне это казалось мало вдохновляющим, и я не стал особенно вникать в замкнутые модельные категории, как ни пропагандировал их мне мой друг С.А.
Все изменилось в 2007 году, когда у меня сложилось ощущение, что аксиомы замкнутых модельных категорий могут быть адекватной организующей схемой для описания свойств комплексов полумодулей и полуконтрамодулей. Я придумал тогда конструкцию соответствующих модельных структур, и в процессе этого придумывания гораздо лучше, чем до этого, разобрался во всяких тонких вопросах соответствующей теории. С тех пор я считаю, что строить замкнутые модельные структуры может быть очень полезно, хотя до сих пор не знаю, зачем они нужны. Главная особенность той конструкции замкнутых модельных структур состояла в том, что все три класса морфизмов -- слабые эквивалентности, расслоения, и корасслоения -- описывались совершенно явно, хотя не слишком просто. Это мне понравилось.
Теперь я решил разобраться с замкнутыми модельными структурами на категориях DG-алгебр и DG-коалгебр, для чего открыл старые статьи В.Х., где они строятся. Оказалось, что конструкция для DG-алгебр (с, так сказать, "слабыми эквивалентностями первого рода") достаточно прозрачна, в то время как конструкция для конильпотентных DG-коалгебр (со "слабыми эквивалентностями второго рода") гораздо более сложная и существенным образом опирается на конструкцию для DG-алгебр, используя функторы кошулевой двойственности. Разумеется, кошулева двойственность является целью всего мероприятия; тут же получается, как стало дурным обычаем в работах на эту тему, что одна из сторон желаемой двойственности определяется в терминах другой стороны. При этом если корасслоения в замкнутой модельной категории DG-коалгебр определяются просто как инъективные отображения, а слабые эквивалентности еще можно, хотя и не вполне удачно, определить как замыкание относительно произведений и частных класса фильтрованных квази-изоморфизмов, то для расслоений никакого явного описания не предлагается.
Я придумал гипотезу о том, как бы могли просто описываться расслоения DG-коалгебр, по аналогии с ситуацией DG-комодулей, для которых, кажется, все достаточно понятно. Гипотеза состоит, если попросту, в том, что является ли морфизм DG-коалгебр расслоением, от дифференциалов на этих коалгебрах не зависит (вроде бы я могу это проверить для морфизма фибрантных DG-коалгебр). Но что-то В.Х. уже неделя как не отвечает на мое письмо на эту тему.
Update: В.Х. не знает ответа на мой вопрос.
Все изменилось в 2007 году, когда у меня сложилось ощущение, что аксиомы замкнутых модельных категорий могут быть адекватной организующей схемой для описания свойств комплексов полумодулей и полуконтрамодулей. Я придумал тогда конструкцию соответствующих модельных структур, и в процессе этого придумывания гораздо лучше, чем до этого, разобрался во всяких тонких вопросах соответствующей теории. С тех пор я считаю, что строить замкнутые модельные структуры может быть очень полезно, хотя до сих пор не знаю, зачем они нужны. Главная особенность той конструкции замкнутых модельных структур состояла в том, что все три класса морфизмов -- слабые эквивалентности, расслоения, и корасслоения -- описывались совершенно явно, хотя не слишком просто. Это мне понравилось.
Теперь я решил разобраться с замкнутыми модельными структурами на категориях DG-алгебр и DG-коалгебр, для чего открыл старые статьи В.Х., где они строятся. Оказалось, что конструкция для DG-алгебр (с, так сказать, "слабыми эквивалентностями первого рода") достаточно прозрачна, в то время как конструкция для конильпотентных DG-коалгебр (со "слабыми эквивалентностями второго рода") гораздо более сложная и существенным образом опирается на конструкцию для DG-алгебр, используя функторы кошулевой двойственности. Разумеется, кошулева двойственность является целью всего мероприятия; тут же получается, как стало дурным обычаем в работах на эту тему, что одна из сторон желаемой двойственности определяется в терминах другой стороны. При этом если корасслоения в замкнутой модельной категории DG-коалгебр определяются просто как инъективные отображения, а слабые эквивалентности еще можно, хотя и не вполне удачно, определить как замыкание относительно произведений и частных класса фильтрованных квази-изоморфизмов, то для расслоений никакого явного описания не предлагается.
Я придумал гипотезу о том, как бы могли просто описываться расслоения DG-коалгебр, по аналогии с ситуацией DG-комодулей, для которых, кажется, все достаточно понятно. Гипотеза состоит, если попросту, в том, что является ли морфизм DG-коалгебр расслоением, от дифференциалов на этих коалгебрах не зависит (вроде бы я могу это проверить для морфизма фибрантных DG-коалгебр). Но что-то В.Х. уже неделя как не отвечает на мое письмо на эту тему.
Update: В.Х. не знает ответа на мой вопрос.
