Неожиданные проблемы

[posic]

для гомологической алгебры у меня возникают -- например, доказать, что квадрат некоторого дифференциала равен нулю. Обычно это легко. Эту я решил, но теперь следующая -- доказать, что некоторый изоморфизм коммутирует с дифференциалом. Не получается.

Comments

[mikhandr.livejournal.com]

А какой, если не секрет?

[posic.livejournal.com]

Ох, это длинная история. В общем, есть такой почти классический объект -- DG-категория DG-модулей над DG-кольцом. У него есть обобщение -- DG-категория CDG-модулей над CDG-кольцом. Вместо CDG-колец можно говорить о квази-дифференциальных кольцах, это эквивалентно (но в чем-то лучше). Дальше можно рассмотреть квази-дифференциальные кокольца и DG-категории комодулей и контрамодулей над ними. Между этими категориями полагается быть паре сопряженных DG-функторов (производным функторам которых полагается быть эквивалентностями триангулированных категорий, при определенных условиях). У меня есть некоторая конструкция этой пары сопряженных функторов, но не удается проверить, что они являются DG-функторами и сопряжены как DG-функторы, т.е., что некоторые естественные морфизмы и изоморфизмы являются (изо)морфизмами комплексов. Подробности частично можно найти в тексте, выложенном на http://positselski.narod.ru .

[mikhandr.livejournal.com]

Ох, действительно длинная история...
Я так понял, идея состоит в построении гомологической алгебры для некой категории CDG-модулей над CDG-кольцом.
Эта категории удовлетворяет аксиомам closed model category?

[posic.livejournal.com]

Категории CDG-комодулей и CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй естественным образом являются замкнутыми модельными категориями.

[mikhandr.livejournal.com]

Ага, с основаниями и так всё в порядке.
А за какую идею идёт борьба? :-)

[posic.livejournal.com]

За идею максимальной естественной общности некоторых конструкций, таких как кошулева двойственность и комодульно-контрамодульное соответствие.

[mikhandr.livejournal.com]

Н-да, с двойственностями- надо в явно предъявлять морфизм и доказывать его свойства.

[posic.livejournal.com]

Проблемы возникают при переходе к квази-дифференциальным кокольцам. Для CDG- (=квази-дифференциальных) коалгебр проблем нет или не ожидается. Для обыкновенных (не квази-дифференциальных) коколец проблем тоже нет.

Здесь коалгебра = коалгебра над полем. Кокольцо = коалгебра над кольцом.