Шокирующее открытие

[posic]

Факторпространство полного топологического векторного пространства по замкнутому подпространству может быть неполным. Я взялся за книги Бурбаки по топологическим векторным пространствам и общей топологии, чтобы найти там доказательство обратного, в существовании которого не сомневался, но обнаружил сложную конструкцию контрпримера в упражнениях. Разбираться в ней я не стал, поскольку все равно меня интересует особый случай твп с линейной топологией (когда открытые векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля).

Для твп со счетной базой окрестностей нуля утверждение верно, конечно; а для твп с линейной топологией и счетной базой окрестностей нуля всякое замкнутое подпространство является прямым слагаемым. Но основополагающий трактат по твп с линейной топологией еще не написан, и выяснить, верно ли для них это утверждение в общем случае, не представляется возможным...

Comments

[akater.livejournal.com]

Но ведь если X --- F-пространство, и N \subset X --- замкнуто в X, то X/N --- тоже F-пространство. Что-то не укладывается в голове. Где этот пример у Бурбаки находится, не скажете?

[posic.livejournal.com]

Что такое F-пространство? Контрпример у Бурбаки находится в Топологических Векторных Пространствах, глава IV, параграф 4, упражнение 10б), страница 260 русского издания 1959 года. См. также сводку результатов, параграф 3, раздел "Факторпространства".

[akater.livejournal.com]

Спасибо.

F-пространство --- твп, у которого топология порождается полной инвариантной метрикой.

[sowa.livejournal.com]

А есть какое-нибудь место с вводным обсуждением твп с линейной топологией?

[posic.livejournal.com]

Главный источник -- статья Бейлинсона о топологических алгебрах из этого свежего выпуска MMJ. К сожалению, его обсуждение едва ли можно назвать вводным, поскольку оно слишком сжато и многие детали опущены. Например, я понятия не имею, как решать упражнение на второй странице. Да и с полнотой факторпространств (подразумеваемой в словах про точную категорию с замкнутыми вложениями в качестве допустимых мономорфизмов и открытыми сюръекциями в качестве допустимых эпиморфизмов) вот возникла проблема.

[posic.livejournal.com]

Мда, написал я Саше письмо с вопросом, как доказывать эти утверждения, и получил ответ, из которого следует, что он этого не знает (и весьма этим огорчен).

[posic.livejournal.com]

https://posic.livejournal.com/2168661.html

[posic.livejournal.com]

Теперь есть -- https://arxiv.org/abs/2012.15431