Шокирующее открытие

[posic]

Факторпространство полного топологического векторного пространства по замкнутому подпространству может быть неполным. Я взялся за книги Бурбаки по топологическим векторным пространствам и общей топологии, чтобы найти там доказательство обратного, в существовании которого не сомневался, но обнаружил сложную конструкцию контрпримера в упражнениях. Разбираться в ней я не стал, поскольку все равно меня интересует особый случай твп с линейной топологией (когда открытые векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля).

Для твп со счетной базой окрестностей нуля утверждение верно, конечно; а для твп с линейной топологией и счетной базой окрестностей нуля всякое замкнутое подпространство является прямым слагаемым. Но основополагающий трактат по твп с линейной топологией еще не написан, и выяснить, верно ли для них это утверждение в общем случае, не представляется возможным...