Некоммутативные дифференциальные формы

[posic]

Я прочитал о них в каком-то тексте по-русски про Алена Конна и некоммутативную геометрию в 1992 году примерно, и решил, что это интересный пример относительной неоднородной квадратичной двойственности. Двойственности с чем? Чему двойственны дифференциальные формы? Дифференциальным операторам. А что такое дифференциальные операторы на некоммутативном кольце? Вот то-то и оно-то.

Двадцать восемь лет прошло, настало мне время писать об этом. А я даже не знаю, на что сослаться. Кому принадлежит конструкция некоммутативных дифференциальных форм, где о них написано? Впрочем, у меня вся глава "Примеры" получилась такая. Многие детали разжеваны, и совсем без внешних ссылок, как будто это учебник. Потом когда-нибудь, может быть, добавлю ссылки.

Comments

[marina_p]

Вроде, дифференциальные формы двойственны мультивекторным полям, и с некоммутативными так же.

Из предисловия к статье Цыгана "Cyclic Homology":
"One also defines the Hochschild cochain complex C·(A, A) which is a noncommutative analogue of the space of multivector fields."

[posic.livejournal.com]

В моем постинге имеется в виду квадратичная/кошулева двойственность (как там и написано двумя фразами раньше; неоднородная и относительная). А не простой Hom в кольцо функций над кольцом функций.

[marina_p]

А, этого я совсем не знаю... (в смысле, даже что такое эта двойственность не знаю.)

[posic.livejournal.com]

Это двойственность, которая сопоставляет симметрической алгебре векторного пространства V внешнюю алгебру векторного пространства V*. Это простейший классический пример.

В топологии, та же двойственность связывает гомотопические группы и группы когомологий. В рациональной теории гомотопий (скажем для простоты). Это несколько более сложный пример.

https://mathoverflow.net/questions/329/what-is-koszul-duality/6951#6951

[marina_p]

Спасибо!

[posic.livejournal.com]

https://www.facebook.com/posic/posts/4056835660997904