Рецензионное

[posic]

О, 1960е годы! Общая теория колец, радикал Джекобсона. Мир, в котором кольца были по умолчанию без единицы. И это было важно, к этому прилагались специальные усилия: прописать все доказательства так, чтобы они работали для колец без единицы.

Comments

[akor168.livejournal.com]

А насколько естественно что у кольца нет единицы?

[posic.livejournal.com]

Ну, кольца без единицы существуют. Например, от обертывающей алгебры алгебры Ли можно отщепить одномерное векторное пространство, натянутое на единицу, и рассматривать ее (т.е., ее идеал аугментации) как кольцо без единицы. Вообще, любой (левый или правый или двусторонний) идеал в кольце можно рассматривать как кольцо без единицы.

В контексте теории радикала Джекобсона, это такой факт, что без единицы можно обходиться. Похоже, это казалось людям важным в свое время.

Другое дело, что современного алгебраиста обычно интересует не само кольцо, а модули над кольцом. В этом контексте, да, максимальная естественная общность (в большинстве вопросов, видимо) достигается, если рассматривать унитальные модули над кольцом с единицей. Потому, что всегда можно добавить формально к кольцу внешнюю единицу, и унитальные модули над получившимся кольцом суть то же самое, что произвольные (неунитальные) модули над кольцом исходным.

[(Anonymous)]

Есть еще один естественный класс примеров --- алгебры Гекке некомпактных групп не имеют единицы (но зато имеют много идемпотентов). Для них разумно ограничиться т.н. невырожденными модулями, чья категория эквивалентна категории гладких (smooth) представлений исходной группы.

[posic.livejournal.com]

Да, это есть даже такое абстрактное понятие -- кольцо (без единицы, но) с достаточным количеством идемпотентов. Для любой (пред)аддитивной категории можно рассмотреть прямую сумму всех групп морфизмов в этой категории -- получится такое кольцо. Если рассматривать подходящую категорию модулей над таким кольцом (в которых всякий элемент переводится в себя некоторым идемпотентом в кольце -- это, видимо, те, которые вы называете невырожденными), то получается класс категорий модулей, более широкий, чем категории модулей над кольцами с единицей.

[pirkosha.livejournal.com]

В анализе (в K-теории операторных алгебр, например) алгебрами с единицей не обойдешься:

"In the good old days every C*-algebra had a unit. And if it didn't,
you immediately adjoined it", Olsen and Pedersen write in [OP]. Nowadays,
they point out, the situation is not so clear cut, because K-theory often
forces you to replace a nice unital C*-algebra A with its stabilization
- which is always non-unital.


(N.E.Wegge-Olsen, "K-theory and C*-algebras")

The unitization process allows reduction of many aspects of the
theory of Banach algebras or C*-algebras to the unital case. However, there
are important reasons not to restrict attention to only the unital case. For
example, we want to regard closed ideals in a C*-algebra as C*-algebras themselves.
Many C*-algebras which arise in applications, such as C*-algebras of
nondiscrete locally compact groups, are nonunital. Also, in many parts of the
advanced theory of C*-algebras one needs to work with stable C*-algebras
(II.6.6.12), or suspensions (II.5.5.10), which are always nonunital.


(B. Blackadar, "Operator algebras".)

[posic.livejournal.com]

https://www.facebook.com/posic/posts/3909197362428402