Здесь можно найти, например, доказательство D-\Omega двойственности

[posic]

Анонс которого см. тут -- http://posic.livejournal.com/32398.html


Neodnorodnaya koshuleva dvojstvennost' dlya polualgebr

I. DG-kokol'co D nad A -- eto graduirovannoe kokol'co nad A, snabzhennoe
otobrazheniem A-A-bimodulej d:D\to D, udovletvoryayuschim ko-lejbnicevu
tozhdestvu i ravnym nulyu v kvadrate. Dlya lyubogo DG-kokol'ca D,
kompoziciya differenciala s koedinicej ravna nulyu. Kogomologii H_d(D)
DG-kokol'ca D otnositel'no differenciala d snabzhayutsya estestvennoj
strukturoj graduirovannogo kokol'ca nad A, esli estestvennye
otobrazheniya H_d(D)\ot_A H_d(D) \to H_d(D\ot_A D) i
H_d(D)\ot_A H_d(D)\ot_A H_d(D) \to H_d(D\ot_A D\ot_A D)
yavlyayutsya izomorfizmami. Morfizm DG-kokolec, udovletvoryayuschih
etim usloviyam, induciruet morfizm kokolec kogomologij.

DG-polualgebra S nad kokol'com C nad A -- eto graduirovannaya
polualgebra nad C, snabzhennaya otobrazheniem C-C-bikomodulej
d:S\to S, udovletvoryayuschim lejbnicevu tozhdestvu i ravnym nulyu
v kvadrate. Dlya lyuboj DG-polualgebry S, kompoziciya poluedinicy
i differenciala ravna nulyu. Kogomologii H_d(S) DG-polualgebry S
otnositel'no differenciala d snabzhayutsya estestvennoj strukturoj
graduirovannoj polualgebry nad C, esli vypolneny sleduyuschie usloviya:
- estestvennye otobrazheniya iz tensornogo proizvedeniya nad A
kogomologij neskol'kih somnozhnitelej v kogomologii tenzornogo
proizvedeniya teh zhe somnozhitelej yavlyayutsya izomorfizmami
dlya tenzornyh proizvedenij S\ot_A C, C\ot_A S, S\ot_A C\ot_A C,
C\ot_A C\ot_A S, C\ot_A S\ot_A C, S\ot_A S, S\ot_A S\ot_A C,
C\ot_A S\ot_A S, S\ot_A C\ot_A S, S\ot_A S\ot_A C\ot_A S,
S\ot_A C\ot_A S\ot_A S (gde kogomologii C, konechno, sovpadayut s C);
- kratnye kotenzornye proizvedeniya H_d(S)\oc_C ... \oc_C H_d(S)
associativny, gde struktura C-C-bikomodulya na H_d(S) suschestvuet
vvidu predyduschego punkta;
- suschestvuyuschie vvidu predyduschih punktov estestvennye
otobrazheniya H_d(S\oc_C S) \to H_d(S)\oc_C H_d(S),
H_d(S\oc_C S\ot_A C) \to H_d(S)\oc_C H_d(S)\ot_A C,
H_d(C\ot_A S\oc_\C S) \to C\ot_A H_d(S)\ot_A H_d(S),
H_d(S\oc_C S\oc_C S) \to H_d(S)\oc_C H_d(S)\oc_C H_d(S)
yavlyayutsya izomorfizmami. Morfizm DG-polualgebr, udovletvoryayuschih
etim usloviyam, induciruet morfizm polualgebr kogomologij.

II. Predpolozhim, chto kokol'co C nad A yavlyaetsya ploskim pravym
A-modulem. Graduirovannaya polualgebra S nad C nazyvaetsya koploskoj
sprava koshulevoj, esli (i) S_i=0 dlya i<0, (ii) otobrazhenie
poluedinicy yavlyaetsya izomorfizmom mezhdu C i S_0, (iii) vse S_i
yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami, (iv) privedennaya
bar konstrukciya Bar(S,C) imeet kogomologii tol'ko na diagonali,
(v) esli i-ya graduirovochnaya komponenta kogomologij na diagonali
yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem i nadelyayutsya strukturoj pravogo
C-komodulya kak yadro morfizma v kategorii C-komodulej, to ona
yavlyaetsya koploskim pravym C-komodulem.

Kogda A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu razmernost',
analogichno opredelyaetsya ponyatie A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj
sleva koshulevoj polualgebry nad C. Nakladyvayutsya te zhe samye
usloviya (i-iv), a uslovie (v) zamenyaetsya na (v') kogomologii
na diagonali yavlyayutsya C/A-koploskimi levymi C-komodulyami.

Pust' S -- koploskaya sprava koshuleva polualgebra nad C. Indukciej
po graduirovke s ispol'zovaniem Lemmy~\ref{absolute-relative-coflat}
dokazyvaetsya, chto S_i i H^i_d Bar(S,C) -- koploskie pravye C-komoduli.
Poetomu komponenty vnutrennej graduirovki DG-kokol'ca Bar(S,C) --
konechnye kompleksy ploskih pravyh A-modulej, kogomologii kotoryh
tozhe sut' ploskie pravye A-moduli, tak chto eti kogomologii
H_d Bar(S,C) snabzhayutsya estestvennoj strukturoj graduirovannogo
kokol'ca nad A. Analogichno, esli A imeet konechnuyu slabuyu
gomologicheskuyu razmernost' i S -- A-ploskaya sprava i C/A-koploskaya
sleva koshuleva polualgebra nad C, to vse S_i -- C/A-koploskie levye
C-komoduli i kogomologii H_d Bar(S,C) tozhe imeyut estestvennuyu
strukturu graduirovannogo kokol'ca nad A.

Graduirovannoe kokol'co D nad A, snabzhennoe morfizmom kokolec D\to C,
nazyvaetsya koploskim sprava koshulevym kokol'com nad C, esli
(i) D_i=0 dlya i<0, (ii) otobrazhenie D\to C yavyaetsya izomorfizmom
mezhdu D_0 i C, (iii) esli komponenta D_i yavlyaetsya ploskim pravym
A-modulem, to ona yavlyaetsya koploskim pravym C-komodulem,
(iv) esli i-ya graduirovochnaya komponenta privedennoj cobar
konstrukcii Cob(D,C) opredelena, to ona imeet kogomologii tol'ko
na diagonali, (v) v etom sluchae, eta kogomologiya na diagonali
yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem.

Kogda A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu razmernost',
analogichno opredelyaetsya ponyatie A-ploskogo sprava i C/A-koploskogo
sleva koshulevogo kokol'ca nad C. Nakladyvayutsya te zhe samye
usloviya (i-ii) i (iv-v), a uslovie (iii) zamenyaetsya zamenyaetsya
na (iii') vse D_i yavlyayutsya C/A-koploskimi levymi C-komodulyami.

Pust' D -- koploskoe sprava koshulevo kokol'co nad C. Indukciej
po graduirovke s ispol'zovaniem Lemmy~\ref{absolute-relative-coflat}
dokazyvaetsya, chto komponenty D_i i kogomologii H_d^i Cob(D,C)
yavlyayutsya koploskimi pravymi C-komodulyami. Poetomu komponenty
vnutrennej graduirovki DG-polualgebry Cob(D,C) -- konechnye kompleksy
koploskih pravyh C-komodulej, kogomologii kotoryh tozhe yavlyayutsya
koploskimi pravymi C-komodulyami, tak chto eti kogomologii H_d Cob(D,C)
snabzhayutsya estestvennoj strukturoj graduirovannoj polualgebry nad C.
Analogichno, esli A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu
razmernost' i D -- A-ploskoe sprava i C/A-koploskoe sleva koshulevo
kokol'co nad C, to vse D_i yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami
i C/A-koploskimi levymi C-komodulyami, takimi zhe svojstvami obladayut
kogomologii H_d Cob(D,C), i takim obrazom eti kogomologii nadelyayutsya
estestvennoj strukturoj graduirovannoj polualgebry nad C.

Utverzhdaetsya, chto funktory S\mpsto Bar(S,C) i D\mpsto Cob(D,C)
yavlyayutsya vsaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu kategoriyami
koploskih sprava koshulevyh polualgebr nad C i koploskih sprava
koshulevyh kokolec nad C. Analogichnye funktory yavlyayutsya vzaimno-
obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu kategoriyami A-ploskih sprava
i C/A-koploskih sleva koshulevyh polualgebr nad C i A-ploskih sprava
i C/A-koploskih sleva koshulevyh kokolec nad C. Koshuleva polualgebra
i koshulevo kokol'co, sootvetstvuyuschie drug drugu pri etoj
ekvivalentnosti, nazyvayutsya koshulevo dvojstvennymi drug k drugu.

Graduirovannaya polualgebra S nad C nazyvaetsya kvadratichnoj, esli
S_i=0 dlya i<0, otobrazhenie poluedinicy yavlyaetsya izomorfizmom
mezhdu C i S_0, i S yavlyaetsya universal'nym nachal'nym ob''ektom
v kategorii vseh graduirovannyh polualgebr T nad C, snabzhennyh
otobrazheniyami S_1\to T_1 i S_2\to T_2, soglasovannymi s otobrazheniem
poluumnozheniya S_1\oc_C S_1\to S_2. Utverzhdaetsya, chto
graduirovannaya polualgebra S nad C -- koploskaya sprava (A-ploskaya
sprava i C/A-koploskaya sleva) koshuleva togda i tol'ko togda, kogda
ona kvadratichna i dlya lyubogo n reshetka podmodulej modulya S_1\oc_C
... \oc_C S_1 (n somnozhitelej), porozhdennaya yadrami otobrazhenij
S_1\oc_C ...\oc_C S_1 \to S_1\oc_C ... \oc_C S_1 \oc_C S_2 \oc_C S_1
\oc_C ... \oc_C S_1 distributivna, vse faktormoduli vlozhennyh
podmodulej etoj reshetki yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami,
i v imeyuschejsya na nih v silu etogo strukture C-C-bikomodulej vse
eti faktormoduli yavlyayutsya koploskimi pravymi C-komodulyami
(C/A-koploskimi levymi C-komodulyami).

Graduirovannoe kokol'co D nad A, snabzhennoe morfizmom kokolec D\to C,
nazyvaetsya kvadratichnym nad C, esli D_i=0 dlya i<0, otobrazhenie
D\to C yavyaetsya izomorfizmom mezhdu D_0 i C, i D yavlyaetsya
universal'nym konechnym ob''ektom v kategorii vseh graduirovannyh
kokolec E nad A, snabzhennyh morfizmom kokolec E_0\to C i
morfizmami C-C-bikomodulej E_1\to D_1 i E_2\to D_2, soglasovannymi
s otobrazheniem koumnozheniya D_2\to D_1\ot_A D_1. Utverzhdaetsya,
chto graduirovannoe kokol'co D nad A, snabzhennoe morfizmom kokolec
D\to C, yavlyaetsya koploskim sprava (A-ploskim sprava i C/A-koploskim
sleva) koshulevym nad C togda i tol'ko togda, kogda ono kvadratichno
nad C i dlya lyubogo n reshetka podmodulej modulya D_1\oc_C ...
\oc_C D_1 (n somnozhitelej), porozhdennaya obrazami otobrazhenij
D_1\oc_C ... \oc_C D_1\oc_C D_2\oc_C D_1\oc_C ... \oc_C D_1 \to
D_1\oc_C ... \oc_C D_1 distributivna, vse faktormoduli vlozhennyh
podmodulej etoj reshetki yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami,
i v imeyuschejsya na nih v silu etogo strukture C-C-bikomodulej vse
eti faktormoduli yavlyayutsya koploskimi pravymi C-komodulyami
(C/A-koploskimi levymi C-komodulyami).

Pust' S -- koploskaya sprava (A-ploskaya sprava i C/A-koploskaya sleva)
koshuleva polualgebra nad C i D -- dvojstvennoe k nej koploskoe sprava
(A-ploskoe sprava i C/A-koploskoe sleva) koshulevo kokol'co nad C.
Togda na kotenzornyh proizvedeniyah S\oc_C D i D\oc_C S imeyutsya
struktury kompleksov, differencialami v kotoryh yavlyayutsya kompozicii
S_i\oc_C D_j\to S_i\oc_C D_1\oc_C D_{j-1} = S_i\oc_C S_1\oc_C D_{j-1}
\to S_{i+1}\oc_C D_{j-1} otobrazhenij, inducirovannyh koumnozheniem na D
i otobrazhenij, inducirovannyh poluumnozheniem na S, i analogichno dlya
D\oc_C S. Eti kompleksy nazyvayutsya kompleksami Koshulya polualgebry S
i kokol'ca D. Kompleksy Koshulya yavlyayutsya graduirovannymi kompleksami
v graduirovke i+j. Vse graduirovochnye komponety kompleksov Koshulya,
krome komponenty graduirovki 0, yavlyayutsya aciklichnymi kompleksami,
kak netrudno proverit', ispol'zuya harakterizaciyu koshulevyh polualgebr
i kokolec v terminah distributivnyh reshetok.

III. Pust' T -- koploskaya sprava ili A-ploskaya sprava i C/A-koploskaya
sleva koshuleva algebra nad kokol'com C i D -- sootvetstvuyuschee
koshulevo kokol'co nad C. Togda otobrazhenie C\to T_1=D_1 prodolzhaetsya
do povyshayuschego graduirovku na 1 T-T-bipolumodul'nogo otobrazheniya
T\to T (t.e. predstavlyaet central'nyj element T) togda i tol'ko togda,
kogda ono prodolzhaetsya do povyshayuschego graduirovku na 1 nechetnogo
kodifferencirovaniya D (pri etom takoe kodifferencirovanie vsegda ravno
nulyu v kvadrate). V samom dele, oba svojstva ekvivalentny tomu, chto
raznost' dvuh otobrazhenij T_1 = C\oc_C T_1 \to T_1\oc_C T_1 i
T_1 = T_1\oc_C C \to T_1\oc_C T_1 faktorizuetsya cherez vlozhenie
D_2\to T_1\oc_C T_1.

Koploskaya sprava vozrastayuschaya fil'traciya na polualgebre S~ nad C
-- eto semejstvo C-C-bikomodulej F_iS~, F_iS~=0 dlya i<0, F_0S~=C,
snabzhennyh injektivnymi otobrazheniyami F_{i-1}S~\to F_iS~
i izomorfizmom S=\liminj F_iS, takimi chto otobrazhenie F_0S~\to S~ est'
otobrazhenie poluedinicy, otobrazheniya poluumnozheniya F_iS~\oc_C F_jS~
\to S~\oc_C S~\to S~ faktorizuyutsya cherez F_{i+j}S~, posledovatel'nye
faktory F_iS~/F_{i-1}S~ yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami,
i komponenty fil'tracii F_iS~ yavlyayutsya koploskimi pravymi
C-komodulyami (togda prisoedinennye faktory F_iS~/F_{i-1}S~ takzhe
yavlyayutsya koploskimi pravymi C-komodulyami). V sluchae, kogda
kol'co A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu razmernost',
analogichno opredelyayutsya A-ploskie sprava i C/A-koploskie sleva
vozrastayuschie fil'tracii, s toj raznicej, chto F_iS~/F_{i-1}S~ dolzhny
byt' ploskimi pravymi A-modulyami i F_iS~ dolzhny byt' C/A-koploskimi
levymi C-komodulyami (togda prisoedinennye faktory F_iS~/F_{i-1}S~ takzhe
yavlyayutsya C/A-koploskimi levymi C-komodulyami). Esli S -- polualgebra
s koploskoj sprava ili A-ploskoj sleva i C/A-koploskoj sprava
vozrastayuschiej fil'traciej, to na prisoedinennom graduirovannom
ob''ekte gr_FS~=\bgop_i F_iS~/F_{i-1}S~ imeetsya estestvennaya struktura
graduirovannoj polualgebry.

Teorema 1. Esli polualgebra S~ nad C snabzhena koploskoj sprava
(A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj sleva) vozrastayuschej fil'traciej F,
to graduirovannaya polualgebra \bgop F_iS~ koploskaya sprava (A-ploskaya
sprava is C/A-koploskaya sleva) koshuleva togda i tol'ko togda, kogda
graduirovannaya polualgebra \bgop F_iS~/F_{i-1}S~ koploskaya sprava
(A-ploskaya sprava i C/A-koploskaya sleva) koshuleva.

Polualgebra S~ nad C, snabzhennaya koploskoj sprava (A-ploskoj sprava i
C/A-koploskoj sleva) vozrastayuschej fil'traciej F, nazyvaetsya koploskoj
sprava (A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj sleva) neodnorodnoj koshulevoj
polualgebroj nad C, esli vypolneny ekvivalentnye usloviya Teoremy 1,
t.e., graduirovannye polualgebry \bgop F_iS~ i \bgop F_iS~/F_{i-1}S~
yavlyayutsya koploskimi sprava (A-ploskimi sprava i C/A-koploskimi sleva)
koshulevymi polualgebrami nad C.

Kvazidifferencial'noe kokol'co D~ nad kol'com A -- eto graduirovannoe
kokol'co nad A, snabzhennoe nechetnym kodifferencirovaniem \d stepeni +1,
kvadrat kotogoro raven nulyu i kogomologii kotorogo zanulyayutsya.
Esli D~ -- kvazidifferencial'noe kokol'co nad kol'com A, to na koyadre
D~/im\d differenciala \d imeetsya estestvennaya struktura graduirovannogo
kokol'ca nad A. Kvazidifferencial'noj strukturoj na graduirovannom
kokol'ce D nad A nazyvaetsya zadanie kvazidifferencial'nogo kokol'ca D~,
snabzhennogo izomorfizmom D~/im\d = D. Kvazidifferencial'noe kokol'co
D~ nad kol'com A, sosredotozhennoe v neotricatel'noj graduirovke i
snabzhennoe izomorfizmom kokolec D~_0=C, nazyvaetsya koploskim sprava
(A-ploskim sprava i C/A-koploskim sleva) koshulevym nad C, esli
graduirovannoe kokol'co D~/im\d yavlyaetsya koploskim sprava (A-ploskim
sprava i C/A-koploskim sleva) koshulevym nad C.

Teorema 2. Kategoriya koploskih sprava (A-ploskih sprava i C/A-koploskih
sleva) neodnorodnyh koshulevyh polualgebr S~ nad koalgebroj C
estestvennym obrazom ekvivalentna kategorii koploskih sprava (A-ploskih
sprava i C/A-koploskih sleva) koshulevyh kvazidifferencial'nyh kokolec D~
nad C. Esli fil'trovannaya koalgebra S~ i kvazidifferencial'noe kokol'co
D~ sootvetstvuyut odna drugomu pri etoj ekvivalentnosti kategorij, to
graduirovannya polualgebra \bgop_i F_iS~ i graduirovannoe kokol'co D~
yavlyayutsya dvojstvennymi koploskimi sprava (A-ploskimi sprava i
C/A-koploskimi sleva) koshulevymi polualgebroj i kokol'com nad C,
graduirovannaya polualgebra \bgop F_iS~/F_{i-1}S~ i graduirovannoe
kokol'co D~/im\d yavlyayutsya dvojstvennymi koploskimi sprava
(A-ploskimi sprava i C/A-koploskimi sleva) koshulevymi polualgebroj
i kokol'com nad C, voznikayuschie pri etom izomorfizmy F_1S~ = D~_1
i F_1S~/F_0S~ = D~_1/\d_0D~_0 soglasovany mezhdu soboj, i otobrazhenie
vlozheniya C=F_0S~\to F_1S~ sootvetstvuet otobrazheniyu
kodifferencirovaniya C=D~_0\to D~_1 pri izomorfizme F_1S~ = D~_1.

IV. Dlya dokazatel'stva Teorem 1 i 2 nam potrebuetsya sleduyuschaya
raznovidnost' proizvodnogo funktora SemiTor. Rassmotrim razdel'no dva
sluchaya. Pust' snachala S -- polualgebra nad kokol'com C, koploskaya
nad C sprava. Rassmotrim proizvodnyj funktor polutenzornogo
proizvedeniya nad S na dekartovom proizvedenii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-koploskih pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj kategorii
kompleksov levyh S-polumodulej. Poluproizvodnaya kategoriya C-koploskih
pravyh S-polumodulej opredelyaetsya kak faktorkategoriya gomotopicheskoj
kategorii C-koploskih pravyh S-polumodulej po tolskoj podkategorii
kompleksov S-polumodulej, kotorye kak kompleksy C-komodulej koaciklichny
po otnosheniyu k tochnoj kategorii koploskih pravyh C-komodulej. Levyj
proizvodnyj funktor SemiTor^S na dekartovom proizvedenii poluproizvodnoj
kategorii C-koploskih pravyh S-polumodulej i poluproizvodnoj kategorii
levyh S-polumodulej opredelyaetsya putem ogranicheniya funktora
polutenzornogo proizvedeniya na dekartovo proizvedenie gomotopicheskoj
kategorii kompleksov C-koploskih pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj
kategorii kompleksov levyh S-polumodulej, poluploskih otnositel'no C, ili
dekartovo proizvedenie gomotopicheskoj kategorii poluploskih kompleksov
C-koploskih pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj kategorii kompleksov
levyh S-polumodulej. V sluchae, kogda polualgebra S graduirovana,
analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnyj funktor SemiTor^S_gr,
opredelennyj na dekartovom proizvedenii poluproizvodnoj kategorii
C-koploskih graduirovannyh pravyh S-polumodulej i poluproizvodnoj
kategorii graduirovannyh levyh S-polumodulej i prinimayuschij znacheniya
v proizvodnoj kategorii graduirovannyh k-modulej. Esli N -- kompleks
C-koploskih pravyh S-polumodulej i M -- kompleks levyh S-polumodulej, to
total'nyj kompleks bar bikompleksa ... \to N\oc_C S\oc_C S\oc_C M \to
N\oc_C S\oc_C M \to N\oc_C M, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya
beskonechnyh pryamyh summ vdol' diagonalej, vychislyaet SemiTor^S(N,M);
i analogichnyj graduirovannyj kompleks vychislyaet SemiTor^S_gr(N,M).
V sluchae, kogda koyadro otobrazheniya koedinicy C\to S yavlyaetsya
ploskim pravym A-modulem, mozhno takzhe ispol'zovat' privedennyj bar
bikompleks ...\to N\oc_C S/C\oc_C S/C\oc_C M\to N\oc_C S/C\oc_C M\to
N\oc_C M.

Pust' kol'co A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu razmernost',
a polualgebra S nad kokol'com C yavlyaetsya A-ploskoj sprava i
C/A-koploskoj sleva. Rassmotrim proizvodnyj funktor polutenzornogo
proizvedeniya nad S na dekartovom proizvedenii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov A-ploskih pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C/A-koploskih levyh S-polumodulej. Poluproizvodnaya kategoriya
A-ploskih pravyh S-polumodulej (C/A-koploskih levyh S-polumodulej)
opredelyaetsya kak faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii A-ploskih
pravyh S-polumodulej (C/A-koploskih levyh S-polumodulej) po tolstoj
podkategorii kompleksov S-polumodulej, kotorye kak kompleksy C-komodulej
koaciklichny po otnosheniyu k tochnoj kategorii A-ploskih pravyh
C-komodulej (C/A-koploskih levyh C-komodulej). Levyj proizvodnyj funktor
SemiTor^S na dekartovom proizvedenii poluproizvodnoj kategorii A-ploskih
pravyh S-polumodulej i poluproizvodnoj kategorii C/A-koploskih levyh
S-polumodulej opredelyaetsya putem ogranicheniya funktora polutenzornogo
proizvedeniya na dekartovo proizvedenie gomotopicheskoj kategorii
kompleksov A-ploskih pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj kategorii
kompleksov levyh S-polumodulej, poluploskih otnositel'no A, ili dekartovo
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii S/C/A-poluploskih kompleksov
pravyh S-polumodulej i gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-koploskih
levyh S-polumodulej. V sluchae, kogda polualgebra S graduirovana,
analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnyj funktor SemiTor^S_gr,
opredelennyj na dekartovom proizvedenii poluproizvodnoj kategorii
A-ploskih graduirovannyh pravyh S-polumodulej i poluproizvodnoj kategorii
C/A-koploskih graduirovannyh levyh S-polumodulej i prinimayuschij
znacheniya v proizvodnoj kategorii graduirovannyh k-modulej. Esli N --
kompleks A-ploskih pravyh S-polumodulej i M -- kompleks C/A-koploskih
levyh S-polumodulej, to total'nyj kompleks bar bikompleksa ... \to
N\oc_C S\oc_C S\oc_C M \to N\oc_C S\oc_C M \to N\oc_C M, obrazovannyj
s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol' diagonalej,
vychislyaet SemiTor^S(N,M); i analogichnyj graduirovannyj kompleks
vychislyaet SemiTor^S_gr(N,M). V sluchae, kogda koyadro otobrazheniya
koedinicy C\to S yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem, mozhno takzhe
ispol'zovat' privedennyj bar bikompleks ...\to N\oc_C S/C\oc_C S/C\oc_C M
\to N\oc_C S/C\oc_C M\to N\oc_C M.

V. Perejdem k dokazatel'stvu Teoremy 1. Oboznachim graduirovannuyu
polualgebru \bgop F_iS~ cherez T, a graduirovannuyu polualgebru
\bgop F_iS~/F_{i-1}S~ cherez S. Rassmotrim privedennuyu bar rezol'ventu
T+\oc_C T_+\oc_C T \to T_+\oc_C T \to T pravogo T-polumodulya C i
oboznachim cherez X ee polutenzornoe proizvedenie T_+\oc_C T_+\oc_C S
\to T_+\oc_C S \to S s levym T-polumodulem S. Oboznachim cherez Y
dvuchlennyj kompleks pravyh S-polumodulej T_1 \to S/S_{\ge2}; togda
imeetsya estestvennyj morfizm kompleksov pravyh S-polumodulej X\to Y,
komponenty kotogoro sut' proekcii T_+\oc_C S\to T_1\oc_C C i S \to
S/S_{\ge2}. Kak X i Y, tak i yadro otobrazheniya X\to Y yavlyayutsya
kompleksami C-koploskih pravyh S-polumodulej (A-ploskih pravyh
S-polumodulej). Pokazhem, chto yadro otobrazheniya X\to Y koaciklichno
po otnosheniyu k tochnoj kategorii C-koploskih pravyh S-polumodulej
(A-ploskih pravyh S-polumodulej). V samom dele, oboznachim cherez Z
yadro otobrazheniya iz privedennoj bar rezol'venty pravogo T-polumodulya
C, vypisannoj vyshe, v sam pravyj T-polumodul' C. Kompleks Z imeet
estestvennyj endomorfizm z graduirovki 1, inducirovannyj endomorfizmom
privedennoj bar rezol'venty pravogo T-polumodulya C, dejstvuyuschim
tozhdestvenno na kotensornyh somnozhitelyah T_+ i estestvennym vlozheniem
T_i\to T_{i+1} na kotensornyh somnozhitelyah T. Poskol'ku Z yavlyaetsya
styagivaemym kompleksom koploskih pravyh C-komodulej (styagivaemym
kompleksom A-ploskih pravyh C-komodulej) i koyadro endomorfizma z
yavlyaetsya kompleksom koploskih pravyh C-komodulej (A-ploskih pravyh
C-komodulej), eto koyadro koaciklichno po otnosheniyu k tochnoj kategorii
koploskih pravyh C-komodulej (A-ploskih pravyh C-komodulej). Teper'
yadro otobrazheniya X\to Y kak kompleks pravyh C-komodulej izomorfno
yadru surjektivnogo otobrazheniya iz koyadra endomorfizma z
na styagivaemyj dvuchlennyj kompleks koploskih pravyh C-komodulej
(A-ploskih pravyh C-komodulej) T_1\to T_1.

Poskol'ku polutenzornoe proizvedenie X\os_S C izomorfno Bar(T,C), ono
predstavlyaet ob''ekt SemiTor^T(C,C) v proizvodnoj kategorii k-modulej.
Poskol'ku X yavlyaetsya ogranichennym sverhu kompleksom, chleny kotorogo
yavlyayutsya poluploskimi odnochlennymi kompleksami pravyh S-polumodulej
(S/C/A-poluploskimi odnochlennymi kompleksami pravyh S-polumodulej) i
konus otobrazheniya X\to Y koaciklichen po otnosheniyu k tochnoj
kategorii koploskih C-komodulej (A-ploskih C-komodulej), polutenzornoe
proizvedenie X\os_S C predstavlyaet takzhe ob''ekt SemiTor^S(Y,C).
V poluproizvodnoj kategorii graduirovannyh C-koploskih (A-ploskih) pravyh
S-polumodulej imeetsya vydelennyj treugol'nik C(-1)[1]\to Y\to C\to
C(-1)[2], gde chislo v kruglyh skobrah oboznachaet sdvig graduirovki
M(1)_i=M_{i+1}. Iz sootvetstvuyuschej dlinnoj tochnoj posledovatel'nosti
kogomologij ob''ektov SemiTor^S(-,C) indukciej po vnutrennej graduirovke
sleduet, chto privedennaya bar-konstrukciya Bar(S,C) imeet kogomologii
tol'ko na diagonali togda i tol'ko togda, kogda privedennaya
bar-konstrukciya Bar(T,C) imeet kogomologii tol'ko na diagonali. Pust'
eto tak; togda imeyutsya korotkie tochnye posledovatel'nosti 0 \to
H_{d-1,d-1}Bar(S,C) \to H_{d,d}Bar(T,C) \to H_{d,d}Bar(S,C) \to 0.
Pri etom diagonal'nye kogomologii H_{d,d}Bar(T,C) i H_{d,d}Bar(S,C)
yavlyayutsya ploskimi pravymi A-modulyami i nadelyayutsya strukrurami
C-C-bikomodulej kak yadra morfizmov v kategorii C-C-bikomodulej.
Otobrazheniya H_{d,d}Bar(T,C)\to H_{d,d}Bar(S,C) v korotkih tochnyh
posledovatel'nostyah vyshe inducirovany estestvennym otobrazheniem
polualgebr T\to S, tak chto oni yavlyayutsya morfizmami C-C-bikomodulej.

Opishem kompozicii otobrazhenij H_{d,d}Bar(T,C) \to H_{d,d}Bar(S,C) \to
H_{d+1,d+1}Bar(T,C), kotorye my budem oboznachat' cherez \d. Pust'
t: C\to T_1 -- estestvennoe vlozhenie. Rassmotrim endomorfizm \d_X
graduirovki 1 i gomologicheskoj stepeni 1 kompleksa pravyh S-polumodulej
X, opredelennyj sleduyuschimi formulami: S otobrazhaetsya v T_+\oc_C S
otobrazheniem t\oc\id, T_+\oc_C S otobrazhazhaetsya
v T_+\oc_C T_+\oc_C S otobrazheniem t\oc\id\oc\id - \id\oc t\oc\id,
i t.d. Rassmotrim takzhe endomorfizm \d_Y graduirovki 1
i gomologicheskoj stepeni 1 kompleksa pravyh S-polumodulej Y,
otobrazhayuschij S/S_{\ge2} v T_1 kompoziciej S/S_{ge2} \to C \to T_1.
Togda endomorfizmy \d_X i \d_Y obrazuyut kommutativnuyu diagrammu
s proekciej X\to Y. Poskol'ku endomorfizm \d_Y predstavlyaet
v poluproizvodnoj kategorii graduirovannyh C-koploskih (A-ploskih)
pravyh S-polumodulej kompoziciyu otobrazhenij Y\to C\to Y(1)[-1] iz
vydelennogo treugol'nika vyshe, interesuyuschie nas otobrazheniya \d
inducirovany endomorfizmom bar kompleksa Bar(T,C) = X\os_S C, kotoryj
inducirovan endomorfizmom \d_X kompleksa X. Etot endomorfizm kompleksa
Bar(T,C), kotoryj my budem oboznachat' cherez \d_Bar, zadaetsya
sleduyuschimi formulami: C otobrazhaetsya v T_+ otobrazheniem t,
T_+ otobrazhaetsya v T_+\oc_C T_+ otobrazheniem t\oc\id - \id\oc t,
i t.d. Poskol'ku \d_Bar yavlyaetsya endomorfizmom C-C-bikomodulej,
\d takzhe yavlyaetsya endomorfizmom C-C-bikomodulej, otkuda vidno, chto
i otobrazheniya H_{d,d}Bar(S,C) \to H_{d+1,d+1}Bar(T,C) iz korotkih
tochnyh posledovatel'nostej vyshe takzhe yavlyayutsya morfizmami
C-C-bikomodulej. Teper' netrudno pokazat' indukciej po d ispol'zuya
Lemmu~\ref{absolute-relative-coflat} chto vse H_{d,d}Bar(S,C)
yavlyayutsya koploskimi pravymi (C/A-koploskimi levymi) C-komodulyami
togda i tol'ko togda, kogda vse H_{d,d}Bar(T,C) yavlyayutsya koploskimi
pravymi (C/A-koploskimi levymi) C-komodulyami. Teorema 1 dokazana.

VI. Dokazhem teper' Teoremu 2. Soglasno rezul'tatu, sformulirovannomu
v nachale punkta III, kategoriya koploskih sprava (A-ploskih sprava i
C/A-koploskih sleva) koshulevyh polualgebr T nad C, snabzhennyh
povyshayuschim graduirovku na 1 T-T-bikomodul'nym otobrazheniem T\to T,
ekvivalentna kategorii koploskih sprava (A-ploskih sprava i C/A-koploskih
sleva) koshulevyh kokolec D nad C, snabzhennyh povyshayuschim graduirovku
na 1 nechetnym kodifferencirovaniem. Ostaetsya pokazat', chto koshulevy
polualgebry s otobrazheniem T\to T, proiskhodyaschie iz koploskih sprava
(A-ploskih sprava i C/A-koploskih sleva) fil'trovannyh polualgebr S~
sootvetstvuyut pri etoj ekvivalentnosti kategorij koshulevym kokol'cam
nad C, snabzhennym nechetnym kodifferencirovaniem, kogomologii kotorogo
zanulyayutsya, a koyadro yavlyaetsya koploskim sprava (A-ploskim sprava
i C/A-koploskim sleva) koshulevym kokol'com nad C, i naoborot. Krome
togo, nam nuzhno budet ubedit'sya, chto esli dlya kvazidifferencial'nogo
kokol'ca D~ kokol'co D~/im\d koploskoe sprava (A-ploskoe sprava i
C/A-koploskoe sleva) koshulevo nad C, to i samo kokol'co D~ koploskoe
sprava (A-ploskoe sprava i C/A-koploskoe sleva) koshulevo nad C.

Soglasno dokazatel'stvu Teoremy 1, koploskoj sprava (A-ploskoj sprava i
C/A-koploskoj sleva) koshulevoj polualgebre T nad C, proiskhodyaschej iz
koploskoj sprava (A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj sleva) neodnorodnoj
koshulevoj polualgebry S~ sootvetstvuet koploskoe sprava (A-ploskoe
sprava i C/A-koploskoe sleva) koshulevo kvazidifferencial'noe kokol'co D~
nad C. Pri etom prisoedinennaya graduirovannaya polualgebra S i
kokol'co D~/im\d yavlyayutsya dvojstvennymi koploskimi sprava (A-ploskimi
sprava i C/A-koploskimi sleva) koshulevymi polualgebroj i kokol'com
nad C. V samom dele, pust' D~=\bgop_d H_{d,d}Bar(T,C); togda endomorfizm
\d kokol'ca D~, inducirovannyj endomorfizmom \d_Bar bar konstrukcii
Bar(T,C), yavlyaetsya nechetnym kodifferencirovaniem stepeni 1,
a organichenie ego na D~_0 sovpadaet s estestvennym vlozheniem
D~_0=C \to T_1=D~_1.

Postroim teper' neodnorodnuyu koshulevu polualgebru, sootvetstvuyuschuyu
koploskomu sprava (A-ploskomu sprava i C/A-koploskomu sleva)
kvazidifferencial'nomu kokol'cu D~. Dlya etogo rassmotrim
bigraduirovannoe kokol'co E nad kol'com A s komponentami E_{pq}=D~_{p-q}
esli p\ge0, q\ge0 i E_{pq}=0 v ostal'nyh sluchayah. Opredelim
na kokol'ce E differencial \d_E, otobrazhayuschij komponentu E_{pq}
v E_{p,q-1} posredstvom \d_{p-q}. Imeetsya gomomorfizm bigraduirovannyh
kokolec E\to D, induciruyuschij izomorfizm kokolec kogomologij, gde
kokol'co D razmescheno v graduirovkah p\ge0 i q=0 i snabzheno nulevym
differencialom. Rassmotrim privedennuyu bar konstrukciyu R=Cob(E,C)
differencial'nogo kokol'ca E nad C -- eto trigraduirovannaya polualgebra
s graduirovkami p i q, inducirovannymi sootvetstvuyuschimi graduirovkami
na E, i graduirovkoj -r po chislu kotenzornyh somnozhitelej. Na R
imeyutsya dva poludifferencirovaniya \d_R i d_R, odno inducirovannoe
differencialom \d_E na E i drugoe inducirovannoe koumnozheniem na E.
Oni imeyut tristepeni (0,-1,0) i (0,0,-1) po (p,q,r). Rassmotrim
tret'e poludifferencirovanie \delta_R na R, ogranichenie kotorogo
na E=R_{*,*,-1} \sub R ravno tozhdestvennomu otobrazheniyu komponenty
E_{11}=C na komponentu poluedinicy R_{000}=C i nulyu na vseh ostal'nyh
bigraduirovochnyh komponentah E. Poludifferencirovanie \delta_R imeet
tristepen' (-1,-1,1). Vse tri poludifferencirovaniya ravny nulyu
v kvadrate; differencialy \d_R i d_R antikommutiruyut, v to vremya kak
obe kompozicii kazhdogo iz nih s \delta_R zanulyayutsya.

Rassmotrim total'nuyu graduirovannuyu polualgebru trigraduirovannoj
polualgebry R s graduirovkoj n=p+q+r; my budem oboznachat' ee tozhe
cherez R. Graduirovannaya polualgebra R snabzhena total'nym
poludifferencirovaniem \d_R+d_R+\delta_R stepeni -1. Krome togo,
na R imeetsya vozrastayuschaya fil'traciya F, komponenta F_iR kotoroj
ravna summe komponent R trigraduirovki (p,q,r), dlya kotoryh p\le i.
Fil'traciya F soglasovana s differencialom \d_R+d_R+\delta_R.
Prisoedinennaya graduirovannaya polualgebra \bgop F_iR/F_{i-1}R
estestvenno izomorfna polualgebre R s differencialom \d_R+d_R.
Morfizm DG-polualgebr (R,\d_R+d_R)\to Bar(D,C) induciruet izomorfizm
polualgebr kogomologij, H_{\d_R+d_R}^0(R)=S i H_{\d_R+d_R}^n(R)=0 dlya
n\ne 0, gde S oboznachaet koshulevu polualgebru, dvojstvennuyu k D.
V samom dele, komponenty fiksirovannoj graduirovki i DG-polualgebry
(R,\d_R+d_R) yavlyayutsya konechnymi bikompleksami, komponenty kotoryh
fiksirovannoj graduirovki k sut' kotenzornye proizvedeniya kompleksov,
yavlyayuschihsya komponentami fiksirovannoj graduirovki i DG-kokol'ca E.
Otobrazheniya iz etih kotenzornyh proizvedenij v sootvetstvuyuschie
kotenzornye proizvedeniya komponent graduirovannogo kokol'ca D
yavlyayutsya kvaziizomorfizmami, poskol'ku iterirovannye kotenzornye
proizvedeniya nad C sohranyayut kvaziizomorfizmy konechnyh kompleksov
koploskih sprava (A-ploskih sprava i C/A-koploskih sleva)
C-C-bikomodulej. Analogichnym obrazom, morfizm DG-polualgebr
(R,\d_R+d_R)\to Bar(D,C) induciruet kvaziizomorfizmy tenzornyh i
kotenzornyh proizvedenij, svyazannyh s etimi polualgebrami,
perechislennyh v punkte I.

Prisoedinennye graduirovannye ob''ekty, svyazannye s kogomologiyami
DG-polualgebry (R,\d_R+d_R+\delta_R) i kogomologiyami ee tenzornyh i
kotenzornyh proizvedenij, perechislennyh v punkte I, po fil'traciyam,
inducirovannym fil'traciej F, estestvenno izomorfny kogomologiyam
DG-polualgebry (R,\d_R+d_R) i kogomologiyam ee sootvetstvuyuschih
tenzornyh i kotenzornyh proizvedenij. V chastnosti, A-A-bimodul'
S~ = H_{d_R+\d_R+\delta_R}^0(R) imeet vozrastayuschuyu fil'traciyu F
s prisoedinennym faktorom, estestvenno izomorfnym S, a ostal'nye
kogomologii differenciala d_R+\d_R+\delta_R zanulyayutsya. Dalee,
prisoedinennye faktory tenzornyh i kotenzornyh proizvedenij S~,
perechislennyh v punkte I, po fil'traciyam, inducirovannym F,
izomorfny sootvetstvuyuschim tenzornym proizvedeniyam S, tak chto
DG-polualgebra (R,\d_R+d_R+\delta_R) udovletvoryaet usloviyam punkta I
i na ee kogomologiyah S~ imeetsya struktura polualgebry nad C, prichem
F yavlaetsya ee koploskoj sprava (A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj
sleva) vozrastayuschej fil'traciej s prisoedinennoj graduirovannoj
polualgebroj, estestvenno izomorfnoj S. V samom dele, perehod
k prisoedinennomu graduirovannomu ob''ektu soglasovan s kotenzornym
proizvedeniem fil'trovannyh C-C-bikomodulej s koploskimi sprava
(A-ploskimi sprava i C/A-koploskimi sleva) prisoedinennymi faktorami.

Poskol'ku polualgebra S koploskaya sprava (A-ploskaya sprava i
C/A-koploskaya sleva) koshuleva, to takova zhe i polualgebra
T = \bgop F_iS. Pust' D~' -- koshulevo kokol'co nad C, dvojstvennoe
k T; togda na D~' imeetsya estestvennoe nechetnoe kodifferencirovanie
\d', prevraschayuschee ee v koploskoe sprava (A-ploskoe sprava i
C/A-koploskoe sleva) koshulevo kvazidifferencial'noe kokol'co nad C.
Pri etom koyadro D' differenciala \d' yavlyaetsya koploskim sprava
(A-ploskim sprava i C/A-koploskim sleva) koshulevym kokol'com nad C,
dvojstvennym k S, to est' imeetsya estestvennyj izomorfizm D'=D.
Dalee, vlozhenie komponenty D~_1=R_{1,0,-1}\to R induciruet izomorfizm
D~_1\to F_1S~. Kompoziciya otobrazhenij D~_2 \to D~_1\oc_C D~_1 =
F_1S~\oc_C F_1S~\to F_2S~ ravna nulyu, tak chto imeetsya estestvennyj
morfizm graduirovannyh kokolec D~\to D~'. Poskol'ku vlozhenie
C=F_0S~\to F_1S~ sootvetstvuet otobrazheniyu \d_0: C=D~_0 \to D~_1
pri izomorfizme D_1~\to F_1S~, otobrazhenie D~\to D~' soglasovano
s differencialom \d na D~ i differencialom \d' na D~'. Inducirovannoe
otobrazhenie D~/\dD~ \to D~'/\d'D~' sovpadaet s estestvennym
izomorfizmom D'=D na komponentah graduirovki 1, a sledovatel'no,
i na ostal'nyh komponentah, tak chto ono yavlyaetsya izomorfizmom.
Poetomu i otobrazhenie D~\to D~' yavlyaetsya izomorfizmom kokolec.
Takim obrazom, kokol'co D~ koploskoe sprava (A-ploskoe sprava i
C/A-koploskoe sleva) koshulevo nad C, a dvojstvennaya k nemu koshuleva
polualgebra T, snabzhennaya otobrazheniem bipolumodulej T\to T,
povyshayuschim graduirovku na 1, proishodit iz koploskoj sprava
(A-ploskoj sprava i C/A-koploskoj sleva) neodnorodnoj koshulevoj
polualgebry S~. Teorema 2 dokazana.

VII. Pust' D~ -- koploskoe sprava koshulevo kvazidifferencial'noe
kokol'co nad C s differencialom \d; polozhim D=D~/im\d. DG-kategoriya
D~-QDG kvazidifferencial'nyh levyh komodulej nad D~ opredelyaetsya
sleduyuschim obrazom. Ob''ekty D~-QDG sut' graduirovannye levye
D~-komoduli (bez kakogo-libo differenciala). Kompleks morfizmov
Hom_{D~-QDG}(M,N) iz levogo graduirovannogo D~-komodulya M v levyj
graduirovannyj D~-komodul' N stroitsya tak. Komponenta
Hom_{D~-QDG}^n(M,N) est' k-modul', elementami kotogoro yavlyayutsya
odnorodnye otobrazheniya M\to N stepeni -n, superkommutiruyuschie
so strukturami D-komodulya na M i N. Differencial elementa
f iz Hom_{D~-QDG}^n(M,N) opredelyaetsya sleduyuschim obrazom:
rassmotrim superkommutator f s otobrazheniyami kodejstviya
M\to D~_1\oc_C M i N\to D~_1\oc_C N; eto budet otobrazhenie
M\to D~_1\oc_C N, faktorizuyuscheesya cherez vlozhenie \d_0\oc\id:
N = C\oc_CN = D~_0\oc_C N \to D~_1\oc_C N, otkuda proiskhodit trebuemoe
otobrazhenie df: M\to N. Nuzhno proverit', chto df superkommutiruet
so strukturami D-komodulej na M i N i chto d^2(f)=0; drugimi slovami,
chto df superkommutiruet so strukturami D~-komodulej na M i N. Dlya
etogo rassmotrim superkommutator opredelennogo vyshe otobrazheniya
M\to D~_1\oc_C N s otobrazheniyami kodejstviya M\to D~_1\oc_C M i
N\to D~_1\oc_C N. Eto budet otobrazhenie M\to D~_1\oc_C D~_1\oc_C N;
ego kompoziciya s otobrazheniem D~1\oc_C D~1\oc_C N\to F_2S~\oc_C N,
inducirovannym estestvennoj surjekciej D~_1\oc_C D~_1\to F_2S~,
gde S~ -- koploskaya sprava neodnorodnaya koshuleva polualgebra,
dvojstvennaya k D~, ravna s odnoj storony nulyu, a s drugoj storony
superkommutatoru otobrazheniya df s otobrazheniyami kodejstviya
M\to D~_1\oc_C M i N\to D~_1\oc_C N, skomponovannomu s injektivnym
otobrazheniem D~_1\oc_C N\to F_2S~\oc_C N, inducirovannym estestvennym
vlozheniem D~_1 = F_1S~ \to F_2S~.

Pust' N -- graduirovannyj levyj D~-komodul' i q: N\to N -- odnorodnoe
otobrazhenie graduirovki -1, udovletvoryayuschee tozhdestvu d(q)+q^2=0.
Struktura D~-komodulya na N, skruchennaya na q, stroitsya sleduyuschim
obrazom. Otobrazhenie kodejstviya N_i\to D~_1\oc_C N_{i-1}
v skruchennoj strukture opredelyaetsya kak summa otobrazheniya
kodejstviya v iskhodnoj strukture D~-komodulya i kompozicii
otobrazheniya q_i: N_i\to N_{i-1} s otobrazheniem N_{i-1} =
С\oc_C N_{i-1}\to D~_1\oc_C N_{i-1}, inducirovannym vlozheniem
\d_0: C=D~_0\to D~_1. Chtoby pokazat', chto suschestvuet edinstvennoe
prodolzhenie etih otobrazhenij kodejstviya do struktury graduirovannogo
levogo D~-komodulya na N, dostatochno proverit', chto obraz
iterirovannyh otobrazhenij koumnozheniya N_i\to D~_1\oc_C N_{i-1}\to
D~_1\oc_C D~_1\oc_C N_{i-2} soderzhitsya v obraze D~_2\oc_C N_{i-2},
to est', drugimi slovami, kompoziciya ukazannogo iterirovannogo
otobrazheniya koumnozheniya s surjekciej D~_1\oc_C D~_1\oc_C N_{i-2}
\to F_2S~\oc_C N_{i-2} ravna nulyu; eto proveryaetsya neposredstvenno.
Oboznachim postroennyj skruchennyj D~-komodul' cherez N(q). Legko
videt', chto dlya lyubogo graduirovannogo levogo D~-komodulya M
differencial na komplekse Hom_{D~-QDG}(M,N(q)) otlichaetsya ot
differenciala na komplekse Hom_{D~-QDG}(M,N) soglasno formule
d_{(q)}(f)=d(f)+qf. Poskol'ku yasno, chto v DG-kategorii D~-QDG
suschestvuyut sdvigi i beskonechnye pryamye summy, iz privedennoj
konstrukcii, v chastnosti, sleduet, chto v nej suschestvuyut konusa.
Sledovatel'no, gomotopicheskaya kategoriya Hot(D~-QDG), ob''ektami
kotoroj yavlyayutsya ob''ekty D~-QDG, a morfizmami nulevye kogomologii
kompleksov morfizmov v D~-QDG, triangulirovana.

Krome togo, dlya lyubogo kompleksa graduirovannyh levyh D~-komodulej
mozhno opredelit' total'nyj graduirovannyj levyj D~-komodul', takoj
chto sootvetstvuyuschij graduirovannyj levyj D-komodul' budet pryamoj
summoj sdvigov komponent kompleksa, rassmatrivaemyh kak graduirovannye
levye D-komoduli. V chastnosti, mozhno govorit' o total'nyh
graduirovannyh levyh D~-komodulyah tochnyh troek graduirovannyh levyh
D~-komodulej, chto pozvolyaet opredelit' koproizvodnuyu kategoriyu
kvazidifferencial'nyh levyh D~-komodulej D^co(D~-QDG).

VIII. Pust' S~ -- koploskaya sprava neodnorodnaya koshuleva polualgebra
nad kokol'com C i D~ -- dvojstvennoe k nej koploskoe sprava koshulevo
kvazidifferencial'noe kokol'co nad C. Postroim ekvivalentnost' mezhdu
poluproizvodnoj kategoriej levyh S~-polumodulej i koproizvodnoj
kategoriej kvazidifferencial'nyh levyh D~-komodulej.

Imeetsya para sopryazhennyh funktorov \X i \Y mezhdu DG-kategoriej
kompleksov levyh S-polumodulej i DG-kategoriej kvazidifferencial'nyh
levyh D~-komodulej. Opredelyayutsya oni tak. Funktor \X sopostavlyaet
S~-polumodulyu M graduirovannyj D~-komodul' D\oc_C M, struktura
D~-komodulya na kotorom stroitsya sleduyuschim obrazom. Rassmotrim
otobrazhenie D~_n\oc_C M\to D~_n\oc_C M, ravnoe summe tozhdestvennogo
otobrazheniya i vzyatoj s koefficientom (-1)^n kompozicii D~_n\oc_C M
\to D~_{n-1}\oc_C D~_1\oc_C M\to D~_{n-1}\oc_C M\to D~_n\oc_C M, gde
pervoe komponuemoe otobrazhenie inducirovano koumnozheniem na D~,
vtoroe -- poludejstviem D~_1=F_1S~ na M, a tret'e -- differencialom
\d_{n-1} na D~. Legko proverit', chto eto otobrazhenie faktorizuetsya
cherez surjekciyu D~_n\oc_C M\to D_n\oc_C M, poskol'ku ego kompoziciya
s otobrazheniem D~_{n-1}\oc_C M\to D~_n\oc_C M, inducirovannym \d_{n-1},
zanulyaetsya. Takim obrazom my poluchaem estestvennoe otobrazhenie
D_n\oc_C M\to D~_n\oc_C M. Teper' kompozicii D_{i+j}\oc_C M\to
D~_{i+j}\oc_C M\to D~_i\oc_C D~_j\oc_C M\to D~i\oc_C D_j\oc_C M
postroennyh otobrazhenij s otobrazheniyami, inducirovannymi
koumnozheniem na D~ i otobrazheniyami, inducirovannymi estestvennymi
surjekciyami D~_j\to D_j, opredelyayut iskomuyu strukturu
graduirovannogo D~-komodulya na D\oc_C M. Teper' kompleksu
S~-polumodulej M funktor \X sopostavlyaet total'nyj graduirovannyj
D~-komodul' kompleksa D~-komodulej D\oc_C M_i. Funktor \Y sopostavlyaet
graduirovannomu D~-komodulyu N kompleks S~-polumodulej S~\oc_C N
s differencialom d_i: S~\oc_C N_i\to S~\oc_C N_{i-1}, opredelyaemym
kak kompoziciya S~\oc_C N_i \to S~\oc_C D~_1\oc_C N_{i-1} =
S~\oc_C F_1S~\oc_C N_{i-1} \to S~\oc_C N_{i-1} otobrazheniya,
inducirovannogo D~-kodejstviem na N i otobrazheniya, inducirovannogo
poluumnozheniem na S~. Funktor \X sopryazhen sprava k funktoru \Y,
poskol'ku oba kompleksa Hom_{D~-QDG}(N,\X(M)) i Hom_S(Y(N),M))
izomorfny total'nomu kompleksu bikompleksa Hom_C(N_i,M_j), odin iz
differencialov kotorogo inducirovan differencialom na M, a drugoj
sopostavlyaet morfizmu C-komodulej f: N_i\to M_j kompoziciyu
N_{i+1} \to D~_1\oc_C N_i = F_1S~\oc_C N_i \to F_1S~\oc_C M_j \to M_j
morfizma D~-kodejstviya na N, morfizma, inducirovannogo morfizmom f
i morfizma S~-poludejstviya na M.

Pokazhem, chto funktory \X i \Y induciruyut vzaimno-obratnye
ekvivalentnosti mezhdu poluproizvodnoj kategoriej D^si(S-simod)
i koproizvodnoj kategoriej D^co(D~-QDG). Vo-pervyh, funktor \X
perevodit C-koaciklichnye kompleksy S-polumodulej v koaciklichnye
graduirovannye D~-komoduli. V samom dele, dlya lyubogo kompleksa
S-polumodulej M, graduirovannyj D~-komodul' D\oc_C M imeet
vozrastayuschuyu fil'traciyu graduirovannymi D~-podkomodulyami,
komponenty kotoroj F_n(D\oc_C M) sut' pryamye summy D_i\oc_C M_j po
vsem i\le m. Associirovannyj graduirovannyj ob''ekt k etoj fil'tracii
opisyvaetsya sleduyuschim obrazom. Imeetsya funktor iz DG-kategorii
kompleksov C-komodulej v DG-kategoriyu D~-QDG, sopostavlyayuschij
kazhdomu kompleksu C-komodulej total'nyj graduirovannyj D~-komodul'
kompleksa D~-komodulej, komponenty kotorogo sut' komponenty iskhodnogo
kompleksa C-komodulej, nadelennye strukturoj D~-komodulej, svyazannoj
s vlozheniem kokolec C = D~_0 \to D~. Ochevidno, chto etot funktor
perevodit koaciklichnye kompleksy C-komodulej v koaciklichnye
graduirovannye D~-komoduli. Teper' graduirovannye D~-faktorkomoduli
F_n(D\oc_C M)/F_{n-1}(D\oc_C M) izomorfny obrazam kompleksov
C-komodulej D_n\oc_C M pri etom funktore, i sledovatel'no, koaciklichny.
Vo-vtoryh, funktor \Y, kak ochevidno, perevodit koaciklichnye
graduirovannye D~-komoduli v kompleksy S~-polumodulej, koaciklichnye
ne tol'ko nad C, no dazhe nad S~.

V-tret'ih, pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa levyh S-polumodulej M
konus estestvennogo morfizma kompleksov S-polumodulej \Y\X(M) \to M
koaciklichen kak kompleks C-komodulej. Kompleks C-komodulej \Y\X(M) =
S~\oc_C D\oc_C M imeet vozrastayuschuyu fil'traciyu, komponenty kotoroj
F_n\Y\X(M) sut' summy F_iS~\oc_C D_j\oc_C M po vsem i+j\le n. Konus
morfizma \Y\X(M)\to M imeet inducirovannyu fil'traciyu F, komponenty
kotoroj sut' konusa morfizmov F_n\Y\X(M)\to M. Prisoedinennyj faktor
konusa morfizma \Y\X(M)\to M po fil'tracii F yavlyaetsya koaciklichnym
kompleksom C-komodulej, poskol'ku ego komponenta stepeni nol' izomorfna
konusu tozhdestvennogo endomorfizma kompleksa M, a komponenty ostal'nyh
stepenej izomorfny kotenzornym proizvedeniyam komponent kompleksa
Koshulya S\oc_C D i kompleksa M, pri etom komponenty kompleksa Koshulya
yavlyayutsya tochnymi konechnymi kompleksami koploskih sprava
C-C-bikomodulej, i sledovatel'no, koaciklichny otnosheniyu k tochnoj
kategorii koploskih sprava C-C-bikomodulej.

V-chetvertyh, pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa graduirovannyh levyh
D~-komodulej N konus estestvennogo morfizma graduirovannyh D~-komodulej
N \to \X\Y(N) koaciklichen. Prezhde vsego pokazhem, chto mozhno
predpolagat' graduirovannyj D~-komodul' N graduirovannym C-komodulem,
nadelennym strukturoj graduirovannogo D~-komodulya, svyazannoj
s vlozheniem kokolec C\to D~. Dlya etogo rassmotrim na N fil'traciyu
graduirovannymi D~-podkomodulyami, komponenty kotoroj G_n(N) sut' polnye
proobrazy pryamyh summ D~_i\oc_C N po vsem i\le n pri otobrazhenii
kodejstviya N\to D~\oc_C N. Prisoedinennye faktorkomoduli etoj
fil'tracii yavlyayutsya graduirovannymi D~-komodulyami, proiskhodyaschimi
iz graduirovnnyh C-komodulej; fil'traciya G induciruet fil'traciyu
na konuse morfizma N\to \X\Y(N), komponenty kotoroj sut' konusa morfizmov
G_nN\to \X\Y(G_n(N)); prisoedinennye faktory etoj fil'tracii sut'
konusa morfizmov G_nN/G_{n-1}N \to \X\Y(G_n(N)/G_{n-1}(N)). Takim
obrazom, my mozhem schitat' N graduirovannym C-komodulem s inducirovannoj
strukturoj graduirovannogo D~-komodulya, ili dazhe C-komodulem,
pomeschennym v graduirovku 0 i snabzhennym inducirovannoj strukturoj
graduirovannogo D~-komodulya. V etom sluchae, na graduirovannom
D~-komodule \X\Y(N) = D\oc_C S~\oc_C N imeetsya vozrastayuschaya
fil'traciya graduirovannymi D~-podkomodulyami, komponenty kotoroj
F_n\X\Y(N) sut' summy D_j\oc_C F_iS~\oc_C N po vsem i+j\le n. Konus
morfizma N\to \X\Y(N) imeet inducirovannuyu fil'traciyu F, komponenty
kotoroj sut' konusa morfizmov N\to F_n\X\Y(N). Prisoedinennye faktory
etoj fil'tracii yavlyayutsya koaciklichnymi graduirovannymi
D~-komodulyami. V samom dele, komponenta F_0 fil'tracii na konuse
morfizma N\to F_n\X\Y(N) izomorfna konusu tozhdestvennogo endomorfizma N,
a ostal'nye prisoedinennye faktory etoj fil'tracii izomorfny kotenzornym
proizvedeniyam komponent kompleksa Koshulya D\oc_C S i C-komodulya N,
snabzhennym strukturoj graduirovannogo D~-komodulya s pomosch'yu
opisannogo vyshe funktora iz DG-kategorii kompleksov C-komodulej
v DG-kategoriyu D~-QDG. Sledovatel'no, eti prisoedinennye faktory
yavlyayutsya koaciklichnymi graduirovannymi D~-komodulyami.

Ekvivalentnost' poluproizvodnoj kategorii levyh S~-polumodulej i
koproizvodnoj kategorii graduirovannyh levyh D~-komodulej postroena.
[Ekvivalentnost' poluproizvodnoj kategorii levyh S~-polukontramodulej
i kontraproizvodnoj kategorii graduirovannyh levyh D~-kontramodulej
dokazyvaetsya v nadlezhaschih predpolozheniyah analogichnym obrazom,
s toj raznicej, chto dlya postroeniya fil'tracii G sleduet zamenit'
graduirovannyj D~-kontramodul' N na konus morfizma graduirovannyh
D~-kontramodulej ker(Hom_A(D~,N)\to N) \to N, chtoby fil'traciya G
byla hausdorfovoj.]

IX. Pust' teper' kol'co A imeet konechnuyu slabuyu gomologicheskuyu
razmernost', kokol'co C yavlyaetsya ploskim levym i pravym A-modulem,
S~ -- koploskaya sleva i sprava neodnorodnaya koshuleva polualgebra
nad C i D~ -- dvojstvennoe k nej koploskoe sleva i sprava koshulevo
kvazidifferencial'noe kokol'co nad C. Proizvodnyj funktor
Cotor_{D~-QDG} na dekartovom proizvedenii koproizvodnyh kategorij
levyh i pravyh kvazidifferencial'nyh D~-komodulej stroitsya
sleduyuschim obrazom.

Pust' N -- graduirovannyj pravyj D~-komodul' i M -- graduirovannyj levyj
D~-komodul'. Predpolozhim, chto odin iz A-modulej N i M ploskij. Togda
na kotenzornom proizvedenii N\oc_D M komodulej N i M nad kokol'com D
imeetsya differencial, opredelyayuschij na nem strukturu kompleksa.
Stroitsya etot differencial tak. Rassmotrim kompoziciyu N\oc_D M \to
N\oc_C M \to N\oc_C D~_1\oc_C M estestvennogo vlozheniya N\oc_D M \to
N\oc_C M i otobrazheniya N\oc_C M \to N\oc_C D~_1\oc_C M, zadavaemogo na
komponente N_n\oc_C M_m formuloj (-1)^n(\nu_N\oc_C\id_M+\id_N\oc_C\nu_M).
Eta kompoziciya faktorizuetsya cherez vlozhenie N\oc_C M =
N\oc_C D~_0\oc_C M\to N\oc_C D~_1\oc_C M, inducirovannoe differencialom
\d_0: C=D~_0\to D~_1, otkuda proiskhodit otobrazhenie N\oc_D M \to
N\oc_C M. Pokazhem, chto eto otobrazhenie faktorizuetsya cherez
vlozhenie kotenzornyh proizvedenij N\oc_{D~}M \to N\oc_C M; eto dast
nam iskomyj differencial N\oc_D M\to N\oc_D M i pri etom otsyuda budet
sledovat', chto d^2=0. V samom dele, rassmotrim kompoziciyu
opredelennogo vyshe otobrazheniya N\oc_D M\to N\oc_C D~_1\oc_C M
s otobrazheniem N\oc_C D~_1\oc_C M \to N\oc_C D~_1\oc_C D~_1\oc_C M,
zadavaemym na komponente N_m\oc_C D~_1\oc_C M formuloj
(-1)^n(\nu_N\oc_C\id_{D~_1}\oc_C\id_M + \id_N\oc_C\id_{D~_1}\oc_C\nu_M),
i s otobrazheniem N\oc_C D~_1\oc_C D~_1\oc_C M\to N\oc_C F_2S~\oc_C M,
inducirovannym estestvennoj surjekciej D~_1\oc_C D~_1 = F_1S~\oc_C F_1S~
\to F_2S~. Eta kompoziciya ravna, s odnoj storony, nulyu, a s drugoj
storony, kompozicii interesuyuschego nas otobrazheniya N\oc_D M \to
N\oc_C M, otobrazheniya N\oc_C M\to N\oc_C D_~\oc M, zadavaemogo na
komponente N_n\oc_C M_m formuloj (-1)^n(\nu_N\oc_C\id_M+\id_N\oc_C\nu_M),
i injektivnogo otobrazheniya N\oc_C D~_1\oc M \to N\oc_C F_2S~\oc_C M,
inducirovannogo estestvennym vlozheniem D~_1=F_1S~\to F_2S~.

Takim obrazom my opredelili funktor tenzornogo proizvedeniya nad D,
dejstvuyuschij iz dekartova proizvedeniya gomotopicheskih kategorij
pravyh i levyh kvazidifferencial'nyh D~-modulej v gomotopicheskuyu
kategoriyu k-modulej. Chtoby postroit' ego proizvodnyj funktor,
pokazhem, chto koproizvodnaya kategoriya kvazidifferencial'nyh levyh
D~-komodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
D-koploskih graduirovannyh levyh D~-komodulej po ee peresecheniyu
s tolstoj podkategoriej koaciklichnyh graduirovannyh levyh D~-komodulej.

Dlya lyubogo graduirovannogo levogo D~-komodulya K postroim morfizm
v nego iz A-ploskogo graduirovannogo D~-komodulya L_1(K) s koaciklichnym
konusom. Dlya etogo ispol'zuem graduirovannyj variant Lemmy
\ref{flat-comodule-surjection}, chtoby postroit' konechnuyu rezol'ventu
0\to Z \to P_{d-1}(K)\to ... \to P_1(K) \to P_0(K) \to K graduirovannogo
D~-komodulya K, sostoyaschuyu iz A-ploskih graduirovannyh D~-komodulej.
Total'nyj graduirovannyj D~-komodul' L_1(K) kompleksa D~-komodulej
Z\to P_{d-1}(K)\to ... \to P_0(K) yavlyaetsya A-ploskim D~-komodulem,
otobrazhenie kotogoro v M imeet koaciklichnyj konus. V samom dele,
total'nyj kompleks lyubogo ogranichennogo sleva tochnogo kompleksa
graduirovannyh D~-komodulej koaciklichen, poskol'ku on imeet
vozrastayuschuyu fil'traciyu, prisoedinennye faktory kotoroj izomorfny
konusam tozhdestvennyh endomorfizmov nekotoryh graduirovannyh
D~-komodulej. Dalee, dlya lyubogo A-ploskogo graduirovannogo levogo
D~-komodulya L postroim morfizm iz nego v D-koploskij graduirovannyj
D~-komodul' R_2(L) s koaciklichnym konusom. Dlya etogo rassmotrim cobar
konstrukciyu D~\ot_A L \to D~\ot_A D~\ot_A L \to ... Otmetim, chto
D~ yavlyaetsya koploskim graduirovannym levym D-komodulem, poskol'ku
imeetsya tochnaya trojka levyh (i pravyh) D-komodulej D(-1)\to D~\to D,
svyazannaya s tochnym differencialom \d. Poetomu total'nyj
graduirovannyj levyj D~-komodul' R_2(L) vypisannogo cobar kompleksa
graduirovannyh D~-komodulej yavlyaetsya koploskim D-komodulem, takim
chto estestvennoe otobrazhenie graduirovannyh D~-komodulej L\to R_2(L)
imeet koaciklichnyj konus. Ispol'zuya konstrukcii morfizmov L_1(K)\to K
i L\to R_2(L), mozhno vyvesti iskomuyu ekvivalentnost' triangulirovannyh
kategorij analogichno tomu, kak eto delaetsya v dokazatel'stvah Teoremy
\ref{cotor-main-theorem} ili \ref{semitor-main-theorem}.

Legko videt', chto kotenzornoe proizvedenie nad D koaciklichnogo
graduirovannogo pravogo D~-komodulya i koploskogo nad D graduirovannogo
levogo D~-komodulya yavlyaetsya aciklichnym kompleksom. Funktor
Cotor_{D~-QDG}, opredelennyj na dekartovom proizvedenii koproizvodnyh
kategorij graduirovannyh pravyh i levyh D~-komodulej i prinimayuschij
znacheniya v proizvodnoj kategorii k-modulej, stroitsya posredstvom
ogranicheniya funktora kotenzornogo proizvedeniya nad D na dekartovo
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii kvazidifferencial'nyh pravyh
D~-komodulej i gomotopicheskoj kategorii D-koploskih
kvazidifferencial'nyh levyh D~-komodulej ili na dekartovo proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii D-koploskih kvazidifferencial'nyh pravyh
D~-komodulej i gomotopicheskoj kategorii kvazidifferencial'nyh levyh
D~-komodulej, i vzyatiya ego kompozicii s estestvennym funktorom iz
gomotopicheskoj kategorii k-modulej v ee proizvodnuyu kategoriyu.

X. Teorema. Ekvivalentnosti kategorij D^si(simod-S) = D^co(QDG-D~)
i D^si(S-simod) = D^co(D~-QDG) transformiruyut funktor SemiTor_S
v funktor Cotor_{D~-QDG}.

Dokazatel'stvo. Dlya lyubogo graduirovannogo pravogo D~-komodulya N
i lyubogo kompleksa levyh S~-polumodulej M imeetsya estestvennyj
izomorfizm kompleksov k-modulej N\oc_D X(M) = Y(N)\os_S M. V samom
dele, oba kompleksa izomorfny total'nomu kompleksu bikompleksa
N\oc_C M, odin iz differencialov kotorogo, s tochnost'yu do znaka,
raven kompozicii N\oc_C M\to N\oc_C D~_1\oc_C M = N\oc_C F_1S~\oc_C M
\to N\oc_C M otobrazheniya, inducirovannogo D~-kodejstviem na N i
otobrazheniya, inducirovannogo S~-poludejstviem na M, a drugoj
differencial inducirovan differencialom na M. Teper' pust' N --
kompleks pravyh S~-polumodulej, a M -- poluploskij kompleks C-koploskih
levyh S~-polumodulej. Togda imeetsya izomorfizm X(N)\oc_D X(M) =
YX(N)\os_S M i kvaziizomorfizm YX(N)\os_S M\to N\os_S M. Analogichno,
dlya lyubogo poluploskogo kompleksa pravyh S~-polumodulej N i lyubogo
kompleksa levyh S~-polumodulej M imeetsya izomorfizm X(N)\oc_D X(M) =
N\os_S YX(M) i kvaziizomorfizm N\os_S YX(M)\to N\os_S M. Netrudno
videt', chto kvadratnaya diagramma, obrazovannaya etimi otobrazheniyami,
kommutativna.