![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttp://posic.livejournal.com/194561.html , http://posic.livejournal.com/195723.html
Два способа определить функтор Cotor над кокольцом (коалгеброидом) C над кольцом A, не предполагая конечности гомологической размерности A.
1. Можно определить CotorC(N,M) для двух комплексов комодулей N и М, хотя бы один из которых является комплексом комодулей ограниченной плоской размерности над A, применив к этому комплексу комодулей обычную конструкцию резольвенты. Таким образом получается функтор на декартовом произведении копроизводных категорий. В случае, когда ограниченные плоские размерности имеют члены обоих комплексов, можно даже применять общее определение производного функтора от функтора двух аргументов.
2. Если перейти в категорию провекторных пространств, то там для определения функтора Cotor не нужны никакие ограничения гомологической размерности. Предположим для простоты, что A и C являются векторными пространствами над полем k. Рассмотрим более общую ситуацию, когда A и С являются про-k-векторными пространствами, и будем рассматривать C-комодули в категории Pro(k-vect). Назовем полупроизводной категорией C-комодулей факторкатегорию гомотопической категории по толстой подкатегории комплексов C-комодулей, контраацикличных как комплексы A-модулей. Тогда можно применить общее определение производного функтора от функтора двух аргументов и получить производный функтор ProCotor на произведении полупроизводных категорий правых и левых C-комодулей со значениями в производной категории про-k-векторных пространств.
Заметим, что функторы Cotor и ProCotor из пунктов 1 и 2 отличаются (для не ограниченных снизу комплексов) уже в том случае, когда A=k и С -- обычная коалгебра над полем: Cotor -- это то, что классически называлось CotorC,II (производный функтор второго рода), а ProCotor -- это CotorC,I.
P.S. Имеются аналогичные конструкции производных функторов Coext и IndCoext; чтобы определить последний, нужно рассматривать С-контрамодули в категории Ind(k-vect).
Два способа определить функтор Cotor над кокольцом (коалгеброидом) C над кольцом A, не предполагая конечности гомологической размерности A.
1. Можно определить CotorC(N,M) для двух комплексов комодулей N и М, хотя бы один из которых является комплексом комодулей ограниченной плоской размерности над A, применив к этому комплексу комодулей обычную конструкцию резольвенты. Таким образом получается функтор на декартовом произведении копроизводных категорий. В случае, когда ограниченные плоские размерности имеют члены обоих комплексов, можно даже применять общее определение производного функтора от функтора двух аргументов.
2. Если перейти в категорию провекторных пространств, то там для определения функтора Cotor не нужны никакие ограничения гомологической размерности. Предположим для простоты, что A и C являются векторными пространствами над полем k. Рассмотрим более общую ситуацию, когда A и С являются про-k-векторными пространствами, и будем рассматривать C-комодули в категории Pro(k-vect). Назовем полупроизводной категорией C-комодулей факторкатегорию гомотопической категории по толстой подкатегории комплексов C-комодулей, контраацикличных как комплексы A-модулей. Тогда можно применить общее определение производного функтора от функтора двух аргументов и получить производный функтор ProCotor на произведении полупроизводных категорий правых и левых C-комодулей со значениями в производной категории про-k-векторных пространств.
Заметим, что функторы Cotor и ProCotor из пунктов 1 и 2 отличаются (для не ограниченных снизу комплексов) уже в том случае, когда A=k и С -- обычная коалгебра над полем: Cotor -- это то, что классически называлось CotorC,II (производный функтор второго рода), а ProCotor -- это CotorC,I.
P.S. Имеются аналогичные конструкции производных функторов Coext и IndCoext; чтобы определить последний, нужно рассматривать С-контрамодули в категории Ind(k-vect).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-09-21 09:15 pm (UTC)Люди задавались вопросом, как можно определить функторы Tor, Cotor и т.п. над DG-(ко)алгеброй, ну и пришли к выводу, что это можно сделать двумя способами, взяв сумму или произведение по диагоналям, и в зависимости от этого будут разные свойства: к Tor/Cotor первого рода сходится спектралка от Tor/Cotor между когомологиями DG-(ко)модулей над когомологиями DG-(ко)алгебры, а к Tor/Cotor второго рода сходится спектралка от Tor/Cotor между (ко)модулями, рассматриваемыми без дифференциала, над (ко)алгеброй, рассматриваемой без дифференциала. На таком наивном уровне это просто история о том, как две спектральные последовательности бикомплекса, которые для конечного бикомплекса сходятся к одним и тем же когомологиям тотального комплекса, для бесконечного бикомплекса сходятся к разным когомологиям двух разных тотальных комплексов.