Контрпримерное

[posic]

Над полем k существует коалгебра C, для которой есть конечномерный неприводимый C*-модуль, не являющийся C-комодулем (а значит, раз неприводимый, то и C-контрамодулем не являющийся), тогда и только тогда, когда k конечно. Потому что (счетное) ультрапроизведение копий конечного поля совпадает с ним самим, а бесконечного поля -- бесконечномерно.

Update. Я ошибся; почему собственно речь зашла именно о счетных ультрапроизведениях? Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Update 2. http://community.livejournal.com/ru_math/550930.html

Comments

[bbixob.livejournal.com]

Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Вы уверены? меня это смущает. (под совпадает я понял изоморфно)

[posic.livejournal.com]

Ну смотрите. Пусть X -- множество с каппа-аддидивным ультрафильтром, где каппа превышает мощность поля k. Для любой функции f:X->k и любого элемента a из k обозначим через X_a множество всех x из X, таких что f(x) не равно k. Тогда пересечение X_a пусто, откуда следует, что хотя бы одно из множеств X_a не принадлежит ультрафильтру. Таким образом, функция f совпадает с постоянной функцией a на множестве значений x, принадлежащем ультрафильтру.

А вот раз вы разбираетесь в ультрафильтрах, то вам вопрос. Какую логическую силу имеет утверждение о существовании для любой мощности каппа множества X (неограниченной мощности) вместе с каппа-аддитивным ультрафильтром на нем? Это как существование измеримого кардинала или это доказуемо в ZFC?

[posic.livejournal.com]

множество всех x из X, таких что f(x) не равно a.