![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Обозначения
Oct. 1st, 2023 06:23 pmМатематических идей много, а букв в алфавите мало. Физики любят фиксированные обозначения (единые чуть ли не для всей физики), а математики любят локально консистентные обозначения (в рамках одной работы, серии работ и т.д.). Но математические работы длинные, и на самом деле, даже в рамках одной работы полной консистентности не получается.
Все знают, что треугольное разложение (для нематематиков: произвольные матрицы, верхнетреугольные матрицы, нижнетреугольные матрицы) обозначается такими латинскими буквами, как A, B, N. Первая буква алфавита не требует объяснений (а если требует, то A -- "алгебра"), B означает "борелевская", а N -- "нильпотентая". Потому, что алгебра строго верхнетреугольных матриц нильпотентна (в разных смыслах этого слова). На худой конец, иногда можно написать U -- "унипотентная". Потому, что верхнетреугольные матрицы с единицами по диагонали унипотентны. Но я отвлекаюсь.
В общем, не избежала обозначений A-B-N для треугольного разложения и литература по полубесконечной гомологической алгебре. Стремясь отчасти следовать традиции и не путать читателей, я использовал эти обозначения в моей книжке -- во введении и одном из аппендиксов. Но в основном теле книги буква A используется для базового кольца в фундаменте трехэтажной конструкции, буква N обозначает модули, и в общем следовать этой традиции не получалось.
Поэтому в десятой главе, где обсуждалась "половинка треугольного разложения" (как бы все матрицы и верхнетреугольные -- от необходимости рассматривать нижнетреугольные я успешно избавился) -- использовалось обозначение K для как бы "верхнетреугольных матриц" и R для как бы произвольных. В общем, было подкольцо K в кольце R. А в кольце K было еще подкольцо A -- упомянутый фундамент трехэтажной конструкции. Но это уж так, чтобы писателю и читателю не было слишком легко. Главные роли играли К и R.
Почему K и R? Потому, что из кольца R в десятой главе книжки производится полуалгебра, а полуалгебра обознается жирной рукописной буквой S -- "semialgebra". А буква K у меня ассоциируется, помимо прочего, с буквой C (они часто произносятся одинаково), а кольцо K в десятой главе книжки приблизительно двойственно к кокольцу или коалгебре, обозначаемой рукописной буквой C -- "coring", "coalgebra". В таком русле.
Но математических идей, еще раз, много, а букв в алфавите мало. Поэтому буква K использовалась в книжке еще и для другой цели -- она обозначала бимодули. Система была такая -- левые модули L и M, правый модуль N, бимодуль K. Это пока в дело не замешаны контрамодули. Когда появляются такие модули, которые отчасти контрамодули, то они обозначаются P и Q. Буквы сильно перегружены, конечно -- например, те же P и Q могут обозначать проективные модули, или даже проективные контрамодули. Или если есть кольца A и B, то A-модуль может обозначаться M, а B-модуль N, независимо от того, левые они или правые.
В целом, придумав эту систему обозначений для книжки по полубесконечной гомологической алгебре, я с какими-то вариациями пользуюсь ей с тех пор всю жизнь. Иногда возникают инкосистентности и конфликты, которые как-то разрешаются. В этот раз возник конфликт между бимодулем K и подкольцом K. Проблема-то в чем -- с важной точки зрения, бимодулем является вовсе не подкольцо, а наоборот, объемлющее кольцо!
В общем, когда в конце августа я стал писать статью про кольца без единицы, я по привычке обозначал в ней бимодули через K. Хотя буква K использовалась в ней и для других целей -- ядро (kernel), например. И был абзац во введении, про связь с полуалгебрами, где через K, как в старой книжке, обозначалось подкольцо в кольце R.
И когда во второй половине сентября я начал писать статью про полуалгебры, я, естественно, стал обозначать через К подкольцо, а через R объемлющее кольцо. А как же обозначать бимодули? И как обозначать бикомодули?
Так появилось принципиально новое, оригинальное нотационное решение, неожиданное -- обозначать бимодули через B. А бикомодули, соответственно, рукописной буквой B. Эта новая система использовалась в статье про полуалгебры.
Кончилось дело тем, что понадобилось мне добавить раздел про гомоморфизмы колец в конце статьи про кольца без единицы. Ну, чтобы ссылаться на него из статьи про полуалгебры. Пришлось в нем обозначать гомоморфизм колец через f: K --> R, как в старой книжке. Так буква K стала обозначать в рамках одной, не такой уж длинной статьи 1. бимодули, 2. ядра (модули), и 3. кольца.
В общем, сегодня я уперся в противоречие. Из утверждения, где через K обозначается подкольцо, надо сослаться на утверждение, где через K обозначается бимодуль. Роли букв K и R в ссылающемся и используемом утверждении строго переставлены местами. В рамках одной статьи. Очень удобно для читателя.
Ну, я сначала думал, что читатель это переживет, там совсем несложный аргумент вообще в целом и т.д., но в итоге угрызения совести взяли верх. Пришлось повозиться с контекстным поиском и заменой, как обычно это делается. В общем, теперь буква K в статье про кольца без единицы по-прежнему обозначает 1. бимодули, 2. ядра (модули), и 3. кольца. Но бимодули буква K обозначает только во введении. Потому, что там во введении кольцо с единицей A; и кроме того для удобства сравнения с введением к книжке. А в основном теле статьи бимодули теперь обозначаются буквой B.
О сравнении с работами других математиков на ту же тему тут речь уже не идет. То есть, идет, но не всегда. Вернее, иногда, когда такая речь заходит, не знаешь, смеяться или плакать. В манускрипте Квиллена 1996 года про кольца без единицы кольцо без единицы обозначается через A, объемлющее кольцо с единицей через R. В моей статейке про кольца без единицы кольцо без единицы обозначается через R, кольцо с единицей через A. Ну, для меня приоритетна консистентность с моей книжкой, а путаницу с классическим неопубликованным текстом Квиллена (на который я много ссылаюсь) читателю предлагается распутывать самостоятельно.
Вы прочли не такой уж длинный рассказ о том, какой жизнью живут математические обозначения. Это еще я ничего не написал о неалфавитных символах, ничего о греческих буквах, и почти ничего о шрифтах, а только о выборе больших букв из латинского алфавита!
Все знают, что треугольное разложение (для нематематиков: произвольные матрицы, верхнетреугольные матрицы, нижнетреугольные матрицы) обозначается такими латинскими буквами, как A, B, N. Первая буква алфавита не требует объяснений (а если требует, то A -- "алгебра"), B означает "борелевская", а N -- "нильпотентая". Потому, что алгебра строго верхнетреугольных матриц нильпотентна (в разных смыслах этого слова). На худой конец, иногда можно написать U -- "унипотентная". Потому, что верхнетреугольные матрицы с единицами по диагонали унипотентны. Но я отвлекаюсь.
В общем, не избежала обозначений A-B-N для треугольного разложения и литература по полубесконечной гомологической алгебре. Стремясь отчасти следовать традиции и не путать читателей, я использовал эти обозначения в моей книжке -- во введении и одном из аппендиксов. Но в основном теле книги буква A используется для базового кольца в фундаменте трехэтажной конструкции, буква N обозначает модули, и в общем следовать этой традиции не получалось.
Поэтому в десятой главе, где обсуждалась "половинка треугольного разложения" (как бы все матрицы и верхнетреугольные -- от необходимости рассматривать нижнетреугольные я успешно избавился) -- использовалось обозначение K для как бы "верхнетреугольных матриц" и R для как бы произвольных. В общем, было подкольцо K в кольце R. А в кольце K было еще подкольцо A -- упомянутый фундамент трехэтажной конструкции. Но это уж так, чтобы писателю и читателю не было слишком легко. Главные роли играли К и R.
Почему K и R? Потому, что из кольца R в десятой главе книжки производится полуалгебра, а полуалгебра обознается жирной рукописной буквой S -- "semialgebra". А буква K у меня ассоциируется, помимо прочего, с буквой C (они часто произносятся одинаково), а кольцо K в десятой главе книжки приблизительно двойственно к кокольцу или коалгебре, обозначаемой рукописной буквой C -- "coring", "coalgebra". В таком русле.
Но математических идей, еще раз, много, а букв в алфавите мало. Поэтому буква K использовалась в книжке еще и для другой цели -- она обозначала бимодули. Система была такая -- левые модули L и M, правый модуль N, бимодуль K. Это пока в дело не замешаны контрамодули. Когда появляются такие модули, которые отчасти контрамодули, то они обозначаются P и Q. Буквы сильно перегружены, конечно -- например, те же P и Q могут обозначать проективные модули, или даже проективные контрамодули. Или если есть кольца A и B, то A-модуль может обозначаться M, а B-модуль N, независимо от того, левые они или правые.
В целом, придумав эту систему обозначений для книжки по полубесконечной гомологической алгебре, я с какими-то вариациями пользуюсь ей с тех пор всю жизнь. Иногда возникают инкосистентности и конфликты, которые как-то разрешаются. В этот раз возник конфликт между бимодулем K и подкольцом K. Проблема-то в чем -- с важной точки зрения, бимодулем является вовсе не подкольцо, а наоборот, объемлющее кольцо!
В общем, когда в конце августа я стал писать статью про кольца без единицы, я по привычке обозначал в ней бимодули через K. Хотя буква K использовалась в ней и для других целей -- ядро (kernel), например. И был абзац во введении, про связь с полуалгебрами, где через K, как в старой книжке, обозначалось подкольцо в кольце R.
И когда во второй половине сентября я начал писать статью про полуалгебры, я, естественно, стал обозначать через К подкольцо, а через R объемлющее кольцо. А как же обозначать бимодули? И как обозначать бикомодули?
Так появилось принципиально новое, оригинальное нотационное решение, неожиданное -- обозначать бимодули через B. А бикомодули, соответственно, рукописной буквой B. Эта новая система использовалась в статье про полуалгебры.
Кончилось дело тем, что понадобилось мне добавить раздел про гомоморфизмы колец в конце статьи про кольца без единицы. Ну, чтобы ссылаться на него из статьи про полуалгебры. Пришлось в нем обозначать гомоморфизм колец через f: K --> R, как в старой книжке. Так буква K стала обозначать в рамках одной, не такой уж длинной статьи 1. бимодули, 2. ядра (модули), и 3. кольца.
В общем, сегодня я уперся в противоречие. Из утверждения, где через K обозначается подкольцо, надо сослаться на утверждение, где через K обозначается бимодуль. Роли букв K и R в ссылающемся и используемом утверждении строго переставлены местами. В рамках одной статьи. Очень удобно для читателя.
Ну, я сначала думал, что читатель это переживет, там совсем несложный аргумент вообще в целом и т.д., но в итоге угрызения совести взяли верх. Пришлось повозиться с контекстным поиском и заменой, как обычно это делается. В общем, теперь буква K в статье про кольца без единицы по-прежнему обозначает 1. бимодули, 2. ядра (модули), и 3. кольца. Но бимодули буква K обозначает только во введении. Потому, что там во введении кольцо с единицей A; и кроме того для удобства сравнения с введением к книжке. А в основном теле статьи бимодули теперь обозначаются буквой B.
О сравнении с работами других математиков на ту же тему тут речь уже не идет. То есть, идет, но не всегда. Вернее, иногда, когда такая речь заходит, не знаешь, смеяться или плакать. В манускрипте Квиллена 1996 года про кольца без единицы кольцо без единицы обозначается через A, объемлющее кольцо с единицей через R. В моей статейке про кольца без единицы кольцо без единицы обозначается через R, кольцо с единицей через A. Ну, для меня приоритетна консистентность с моей книжкой, а путаницу с классическим неопубликованным текстом Квиллена (на который я много ссылаюсь) читателю предлагается распутывать самостоятельно.
Вы прочли не такой уж длинный рассказ о том, какой жизнью живут математические обозначения. Это еще я ничего не написал о неалфавитных символах, ничего о греческих буквах, и почти ничего о шрифтах, а только о выборе больших букв из латинского алфавита!
