Список задач по теории колец и модулей

Придуман сходу навскидку для Даши К., которая после перерыва снова мне написала и попросила задач.

Все кольца предполагаются ассоциативными с единицей, все модули и бимодули унитальные. R-S-бимодуль -- это группа с коммутирующими структурами левого R-модуля и правого S-модуля.

1. Пусть M -- правый R-модуль. Покажите, что M является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда левый R-модуль Hom_Z(M,Q/Z) инъективен. Здесь Z -- кольцо целых чисел, Q -- абелева группа рациональных чисел (по сложению).

2. Пусть F -- R-S-бимодуль, а G -- S-T-бимодуль (где R, S, и T -- три кольца). Предположим, что F -- плоский левый R-модуль, а G -- плоский левый S-модуль. Покажите, что тензорное произведение F \otimes_S G -- плоский левый R-модуль.

3. Пусть M -- R-S-бимодуль, а N -- S-T-бимодуль. Предположим, что M -- конечно-порожденный проективный левый R-модуль, а N -- конечно-порожденный проективный левый S-модуль. Постройте естественный изоморфизм T-R-бимодулей

Hom_R(M\otimes_S N, R) = Hom_S(N,S) \otimes_S Hom_R(M,R).

4. R-модуль называется конечно-представимым, если он изоморфен коядру гомоморфизма из одного конечно-порожденного проективного R-модуля в другой конечно-порожденный проективный R-модуль. Покажите, что ядро любого сюръективного гомоморфизма из конечно-порожденного R-модуля в конечно-представимый является конечно-порожденным R-модулем.

5. Пусть M -- конечно-представимый левый R-модуль, N -- R-S-бимодуль, F -- плоский левый S-модуль. Постройте естественный изоморфизм абелевых групп

Hom_R(M, N \otimes_S F) = \Hom_R(M,N) \otimes_S F.

6. Пусть M -- конечно-представимый правый S-модуль, N -- R-S-бимодуль, J -- инъективный левый R-модуль. Постройте естественный изоморфизм абелевых групп

Hom_R(Hom_S(M,N), J) = M \otimes_S \Hom_R(N,J)

7. Кольцо R называется нетеровым слева, если всякий подмодуль конечно-порожденного левого R-модуля конечно-порожден. Покажите, что кольцо R является нетеровым слева тогда и только тогда, когда прямая сумма любого семейства инъективных левых R-модулей -- инъективный левый R-модуль.

8. Кольцо S называется когерентным справа, если всякий конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого правого S-модуля конечно-представим. Покажите, что кольцо S является когерентным справа тогда и только тогда, когда прямое произведение любого семейства плоских левых S-модулей -- плоский левый S-модуль.

9. Пусть R -- нетерово слева кольцо, J -- R-S-бимодуль, F -- левый S-модуль. Предположим, что левый R-модуль J инъективен, а S-модуль F плоский. Покажите, что левый R-модуль J \otimes_S F инъективен.

10. Пусть S -- когерентное справа кольцо, J -- R-S-бимодуль, K -- левый R-модуль. Предположим, что правый S-модуль J инъективен, и что R-модуль K инъективен. Покажите, что левый S-модуль Hom_R(J,K) является плоским.

11. Покажите, что следующие кольца когерентны, но не нетеровы:
а) кольцо многочленов с коэффициентами в поле k от бесконечного числа коммутирующих переменных x_1, x_2, x_3, ...
б) свободная ассоциативная алгебра над полем k, порожденная двумя (некоммутирующими) переменными x, y.

Quasi-coherent torsion sheaves, the semiderived category, and the semitensor product

Semi-infinite algebraic geometry of quasi-coherent sheaves on ind-schemes

https://arxiv.org/abs/2104.05517

Полная версия, 179 страниц. Ответ на вопрос "Что такое полубесконечная алгебраическая геометрия?" искать здесь.

Теперь в открытом доступе: Как объяснить, что такое полубесконечная алгебраическая геометрия

https://posic.livejournal.com/2344695.html

В расширенном виде с добавленными деталями (и на английском языке) содержание постинга по ссылке можно видеть в новых разделах 0.1-0.4 введения к нынешней версии препринта https://arxiv.org/abs/2104.05517

Шесть лет назад (полубесконечная алгебраическая геометрия/статья в Selecta)

2015 год был трудным временем в моей жизни. Шесть месяцев с октября 2014 по март 2015 я служил визитором в Технионе, с апреля по август 2015 я был безработным в Хайфе, с сентября по декабрь 2015 я был визитором в Брно и Праге, а мой постдок в университете Хайфы начался 1 января 2016. При этом с февраля по июнь 2015 я, параллельно с написанием моих статей, учился в ульпане в Хайфе (помню мучительное ощущение, что английский язык математических текстов путается в моем сознании с ивритом, мешая последнему закрепиться в моей голове).

Момент первоначального обнародования апрельского, 2015 года, препринта пришелся как раз на окончание визиторства в Технионе, и соответственно, переезд из технионского общежития в снятую в частном секторе квартиру. В обстановке весны 2015 года, когда мои жизненные перспективы казались особенно туманными, а времени и сил было особенно мало, мне хотелось изложить какие-то важные идеи хотя бы в виде набросков и планов, в надежде, что если не я, то другие люди когда-нибудь их подхватят и разовьют. По крайней мере, изложенное в архивных препринтах не канет сразу в Лету, а останется надолго доступным для широкой публики; а журнальные выпуски даже будут лежать на полках библиотек. На почве этих размышлений был как раз написан апрельский препринт, главной частью которого (в моих глазах) было введение, излагавшее мое видение полубесконечной алгебраической геометрии.

В середине сентября 2015, под впечатлением идей, возникших при подготовке доклада про полубесконечную алгебраическую геометрию на конференции в Праге в начале сентября, я добавил к этой статье последний раздел, про полутензорные произведения. В этот момент я жил уже в Брно.

Идею подать какую-нибудь мою статью в журнал Selecta Mathematica мне неоднократно предлагали разные люди еще в мои московские годы. Я предполагал возможность когда-нибудь последовать этому совету, но по разным соображениям это откладывалось. В 2015 году паззл сложился. Если заглянуть сейчас на сайт Селекты, там есть (как обычно бывает у математических журналов) короткое описание, как этот журнал себя видит и что он публикует. Абзац занимает всего три фразы, последняя из которых -- "The journal especially encourages submission of papers which have the potential of opening new perspectives."

В 2015 там был неможко другой текст, но аспект открывания новых перспектив в нем тоже подчеркивался (можно сказать, что тогда он подчеркивался даже сильнее, чем сейчас). В общем, я решил, что апрельский препринт идеально подходит -- самое важное в его содержании то, что он пытается открыть новую перспективу. Ажно целую перспективу полубесконечной алгебраической геометрии!

Во второй половине сентября 2015 я подал апрельский препринт в этот журнал, в октябре 2016 он был принят к печати, и в апрельском номере за 2017 год статья окончательно вышла из печати. Я переключился на другие дела, но с годами это создало новую ситуацию.

Жизнь моя складывалась, может быть, и нелегко, но лучше, чем я мог ожидать в 2015 году, и все возможности самому развивать и подробно излагать свои собственные идеи у меня имелись. При этом, вот же имеется статья с замыслом полубесконечной алгебраической геометрии, опубликованная как бы с неявным косвенным обещанием, что она откроет новые перспективы -- но замысел этот никто не осуществляет, и в чем состоят обещанные перспективы, остается неизвестным.

Я рад, что в конце концов у меня дошли руки, и длинный, подробный текст по полубесконечной алгебраической геометрии теперь написан и доступен читателям. Не уверен, что это именно то, что обычно понимается под открытием новых перспектив, но я не могу отвечать за других людей -- если пока что не нашлось других желающих развивать эту мою идею, то что ж я могу поделать. По крайней мере, я сам не ограничился публикацией короткого наброска в престижном журнале, а написал, со временем, развернутое изложение.

Хотя и только частичное -- введение к статье в Selecta намечает больше, чем сделано в новой книжной рукописи. Но это и правильно, так и должно быть.