Автобиографическое

Я был воспитанником (полуподпольной в СССР) московской математической школы, и научные интересы мои формировались под влиянием общения с ее представителями, как в Москве, так и за границей. В период, предшествовавший американской аспирантуре (но включавший предварительную визиторскую поездку в США) -- где-то в 1992-95 годах -- я подобрал себе некий круг задач, или два несколько отдельных круга задач, показавшихся мне красивыми и увлекательными. Возраст мой был тогда 19-22 года.

Основные результаты были обнародованы в период 2007-2011 годов, или самое позднее (если иначе считать) к весне 2012. То есть, на это ушло двенадцать-пятнадцать -- до двадцати лет. Соответственно, к тому времени мне было уже 39. Поскольку публикаций, которые можно было бы предъявить, на протяжении всех этих лет почти не было -- мне пришлось вернуться из американского и европейских постдоков в Москву, где я на протяжении ряда лет был безработным почти без источников дохода, и т.д.

Когда же все это, наконец, обнародовалось и было подано в печать -- выяснилось, что идеи и результаты мои (на мой взгляд, замечательные) никого так уж особенно не впечатляют. Ни в Москве, ни в редакциях международных изданий. Жизнь ушла куда-то там вперед или назад, и суетливое "математическое сообщество" давно утратило (если когда-либо имело) какой-то особенный интерес к задачам, полюбившимся мне в юности. Новые большие, масштабные задачи, которые я подобрал себе в 2009-12 годах, никого в Москве не впечатляли тем более. Обстановка в России быстро детериорировала, как в общеполитическом смысле, так и вокруг меня лично.

Тогда я объявил международным изданиям ответный рецензионный бойкот и уехал из Москвы в эмиграцию, искать по свету, кому и где могли бы быть интересны мои наработки. И как ни странно, довольно быстро нашел. Или даже не нашел, а угадал: правильно ткнул пальцем в карту мира. Здесь я занимаюсь развитием и популяризацией моих идей, хотя и в несколько стесненных бытовых условиях: страна небогатая.

Я эмигрировал не только из Москвы, но и из московской математической школы. Мои нынешние соавторы никакого отношения к России не имеют, и тематика -- совершенно не московская. Конечно, Москва была во времена моей юности (и до сих пор в какой-то мере остается) одной из мировых математических столиц. Бостон, Принстон, Париж и Бонн, где я проводил время в аспирантуре и постдоках -- тем более. А Прага -- место более провинциальное (хотя здесь сильная группа специалистов по кольцам и модулям, с которыми я сотрудничаю). Но в последние годы я был готов заниматься любыми осмысленными математическими задачами, в которых можно существенным образом использовать или развить мои ключевые идеи предшествующих лет.

Впервые за полтора года жизни на этом месте в Праге

купил себе чайных пакетиков. Отнес в офис. Сижу тут на работе, пью чай с куском торта, взятым в ресторанном takeaway.

Между тем

количество одновременно рассматриваемых в редакциях работ вновь достигло отметки "шесть". Еще два-три препринта предполагается подать в журналы в ближайшие недели (и один манускрипт близится к вывешиванию в Архив).

Еще шесть работ приняты к печати. Ожидается, что четыре (или как минимум, три) из них будут окончательно опубликованы в 2020 году.

Re Koszul duality

So my feeling is that, as a general rule, there is as much Koszul duality as anybody is likely to ever need, provided that they are prepared to stomach the technical complexity of it (and people almost never are). If you want a substantial increase in generality without a related increase in complexity, that's a different question.

The problem is that people have to learn the basics of what Koszul duality is, in a context similar to what they want to have. Then they will see themselves how to adapt it to their situation, generalize etc. The observable situation is that, instead of learning the basics or working their way into understanding the subject, most people are asking me badly posed, confused questions. This is like someone who has not mastered tensors in linear algebra asking me if there exist tensors over curved surfaces. "Yes, they do exist" -- is the answer. But it is of little help to such a student.

Другие фрагменты из той же переписки

It all depends on what you expect of it. If you want to have a full version of "Two kinds of derived categories..." over a ring, with Quillen equivalences of algebra/coalgebra and module/comodule model categories, then it will require a lot of extra care. In particular, you would certainly have to replace an algebra or coalgebra with a weakly equivalent one before applying the bar/cobar construction (as the tensor products over a ring are not exact).

Nonflat coalgebras may be particularly problematic, or even outright impossible. I would resign from the outset to the compromise of considering suitably flat coalgebras only (which means that, in the contemporary terminology, you may have a model structure, but not a model category, since limits and colimits will not exist; not even finite limits and colimits).

On the other hand, if you have a fixed Koszul dual algebra-coalgebra pair, which are suitably flat over the base ring, and you want to construct a Quillen equivalence of module/comodule categories -- it should be much easier (because all the tensor products involved are exact). This is the setting of my Appendix B (which is also a special case in many other ways, so some care is needed when generalizing it).

***

Concerning Koszul duality on schemes, this is generally pretty straightforward and unproblematic. Ivan Mirkovic with Simon Riche and maybe other collaborators may have written several papers on a particular version of it under the banner of "linear Koszul duality". I myself wrote about it, in a special (but rather advanced) particular case of D-Omega duality, in Appendix B to the "Two kinds of derived categories..." memoir.

The difference between base ring and base scheme is not that large. One thing which exists over a base ring, but is lacking over a base scheme, is projective modules. Over a scheme, you may have to use flat sheaves as a replacement. There are enough flat sheaves over any quasi-compact semi-separated scheme (but not over quasi-separated Noetherian schemes!) At worst, when working with coderived categories, my "very flat sheaves" may be needed. After the very flat conjecture has been proved, they should be reasonably convenient to use. Once again, there are enough very flat quasi-coherent sheaves over any quasi-compact semi-separated scheme.

The only caveat is that nonhomogeneous Koszul duality, as developed in my memoir, happens on the coderived and the contraderived sides. Now if you want to do it with quasi-coherent sheaves, then on the coderived side it is fine. But on the contraderived side, the definition of the contraderived category involves infinite products. And infinite products of quasi-coherent sheaves are not well-behaved. That is where contraherent cosheaves enter the picture. Infinite products of contraherent cosheaves behave well (they are local in the scheme and exact w.r.t. the Quillen exact structure).

You are supposed to use quasi-coherent sheaves on the coderived/comodule side and contraherent cosheaves on the contraderived/contramodule side. Then you will have "Koszul triality"-type results and other mixtures of Koszul duality with co-contra correspondence over schemes. This was in fact my main motivation for developing the theory of contraherent cosheaves. There is a discussion of it in the introduction to my preprint about them.

Ага, вон оно что (корона-паника в Чехии)

https://www.vinegret.cz/626771/vazhno-chekhiia-zakryvaet-restorany-i-neproduktovye-magaziny

Получается, что я сходил в парикмахерскую в последний день, когда это было еще разрешено.