Где я и где остальной мир

В общем, получается, принято так: пара новых на слух и несколько неожиданных идей, немного несложной техники, и ряд впечатляющих приложений к доказательству свежих гипотез, сформулированных известными корифеями.

А у меня так: длинный ряд уже не новых, но по-прежнему непривычных и совершенно непонятных идей, много сложной техники, и в трудном итоге пара нисколько не впечатляющих приложений к прояснению смутных старинных недоумений, давно позабытых.

Что тут можно сказать? Может ли один человек быть прав, а весь мир неправ? Я прав, и я буду стоять на своем.

Для меня проблема тут только в том, на чем в точности стоять. Пусть сегодня я прав на 98%, а завтра буду прав на 99. Я постараюсь быть еще более, и более, и более прав. И чем более я буду прав, тем тем тверже я смогу на этом стоять.

А если остальному миру это все равно, он может проваливаться вокруг меня в тартарары, в свое удовольствие.

К предыдущему

И дальше идея, конечно, в том, что правильно продуманная позиция и простроенная на ее основе политическая линия будут сами себя доказывать, в чисто практическом плане. На основе демонстрации силы, выраженной в долгосрочной последовательности.

Типа, по этой линии едет танк. Едет, быть может, не быстро, но из года в год. И с каждым годом построившие свой дом на пути у танка чувствуют себя все хуже. Нет смысла стоять на пути у танка. Проще расступиться и дать ему дорогу.

О кодах, решетках и экспандерах

Тезисы из выступления Й.Б. на семинаре в институте Вейцмана:

1. Новую конструкцию придумать очень трудно. Нужно подобрать и использовать для приложений подходящую конструкцию из числа известных теоретической математике.

Например, если вы хотите строить решетку как подфактор стандартной решетки -- подфактропространства в математике возникают, как пространства когомологий. Если нужен граф -- можно профакторизовать дерево Брюа-Титса по арифметической подгруппе, и т.д.

Конструкции таких объектов выглядят абстрактными, но на самом деле могут быть очень эффективно имплементированы на компьютере (нужно, конечно, подумать, как это правильно сделать, но если подумать, это получится).

2. Есть разные количественные измерители неформально ощущаемого качества объектов. Например, размер конечного набора чисел (x₁, …, x_n) можно вычислять как

а. максимум абсолютных величин x_i (l_∞-норма),
б. среднее арифметическое абсолютных величин x_i (l₁-норма),
в. квадратный корень из среднего арифметического квадратов абсолютных величин x_i (l₂-норма).

Естественными с прикладной точки зрения выглядят варианты а. и б., но математически может быть гораздо удобнее работать с в. Морально, а., б., и в. по-разному измеряют одно и то же. Следует выбрать измеритель, предпочтительный с математической точки зрения (т.е., в.).

Например, вычисление длины кратчайшего вектора решетки -- NP-полная задача. Не нужно с ней связываться. Правильный измеритель качества решетки должен как-то определяться в терминах тета-функций, что математически гораздо лучше.

При правильном выборе измерителей качества, доказательство высокого качества объектов арифметического и т.п. происхождения (как в п. 1) является несложной математической задачей. Можно ожидать, в частности, что такие объекты лучше случайных (случайные тоже довольно хороши, но выбрать конкретный объект, похожий на случайный, может быть трудно).

Говоря словами русской поговорки

Слишком много людей вокруг меня любят сеять ветер. Они не успокоятся, пока не пожнут бурю. Над решением этой последней задачи я по мере сил работаю здесь.