Философия математики

[posic]

Есть стандартное противопоставление платонистской и формалистской позиций: изучают ли математики некую объективную реальность мира математических идей, или они выводят следствия из некоторых наборов аксиом. Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как относиться к доказательствам, использующим компьютерный счет или к попыткам разрешить проблему континуума. Вопрос не решается, поскольку своя доля правды есть в обеих позициях.

Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.

Comments

[timur0.livejournal.com]

А разве не является доказательство лишь одной из конструкций математики? Как-то странно рассуждать о теоремах без понятий и конструкций (или не обращая на них внимания). А вот не обращать внимания на доказательства - можно, нормальная позиция (не для математика).

[posic.livejournal.com]

Ну, под конструкцией в контексте математики обычно имеется в виду построение математического объекта. Доказательство как таковое не является математическим объектом, если только не рассматривать его как приблизительное описание формального вывода как объекта математической логики.

Можно считать понятия и конструкции частью формулировок и доказательств теорем, а можно считать теоремы и их доказательства иллюстрацией к понятиям и конструкциям. В этом состоит оппозиция.

Мой взгляд на это дело двойственный: мне кажется, что математика состоит из понятий и конструкций, продемонстрировавших свою полезность в деле производства теорем и доказательств. Целью деятельности математиков является получение теорем и доказательств, но самым важным ее продуктом являются понятия и конструкции.