Пусть легким окажется путь (но вряд ли)

Метафора сейчас уже кажется довольно заезженной, но мне моя мама в детстве еще объясняла, что люди, как бегуны, классифицируются на тех, кто предпочитает длинные и короткие дистанции.

Как с тех пор постепенно выяснилось, я исполняю какую-то очень длинную стратегию. И вот, как с путешественником в дальней дороге в какие-нибудь стародавние времена, со мной случаются всякие странные события.

Кому-то во мне видится уязвимая цель и легкая добыча. А мне в нем -- опасность, с которой придется со временем разбираться, но пока оно может подождать. Или угроза, которую нельзя сразу отвести, но можно выстроить против нее какую-то длинную оборону. Или ... сигнал о том, что я слишком долго задерживаюсь на одном месте.

Помимо прочего, мой отъезд из Москвы пришелся на момент исчерпания источников научных впечатлений. В Москве я был с паспортом, требующим виз повсюду; сначала без денег, а потом очень загружен, и каникулы коротки -- не разъездишься. Нескольких недель общения с израильскими математиками в мае-июле 2014 мне хватило, чтобы знать, о чем писать последующий год. Прежде всего, в смысле -- какие концепции и задачи вблизи моей деятельности они считают для себя важными. Как теперь видно -- не только они.

Теперь Чехия, где, похоже, для местных алгебраистов моя деятельность представляет значимый источник новых идей, и примеров к их теориям. А они для меня -- источник знаний о современных технических средствах (прежде всего, теоретико-множественных). Полтора года назад, в мой первый сюда приезд, научного общения с чехами у меня получилось очень мало. Сейчас они раскачались помаленьку, или это я раскачался.

В перспективе, хотелось бы переместиться в сторону каких-то арифметических, p-адических приложений. (Тем более, что моя деятельность в неравных характеристиках, похоже, перешла в стадию популяризации, а в содержательном смысле во-многом завершена.) Где по нынешним временам мировой центр арифметической геометрии -- во Франции? в Штатах? Непонятно. В Израиле есть такие люди; были они и в Москве. Вопрос уровня, качества. С кем на самом деле нужно это обсуждать? Кому это будет по-настоящему интересно?

Что я совсем плохо понимаю, так это от чего меня настолько сильно стошнило в Штатах, что я предпочел поставить между собой и ими всю эту арестно-визовую ситуацию. "Никто не возвращается из Америки", но я, наоборот, в Америку не возвращаюсь. Никто и не приглашает, практически; и вряд ли потому, что подробности моих отношений с полицией и консульством стали настолько уж широко известны. Хочу приехать на старости лет победителем, взломавшим все барьеры? Может быть. Не знаю.

Об исламистах, капиталистах и расизме

а также Израиле -- https://www.facebook.com/guy.zhidkov/posts/10153662472847402

Еще раз о контрамодульной лемме Накаямы

http://posic.livejournal.com/1227491.html

К предыдущему математическому постингу, к первому пункту его: вспомогательный производный функтор это, конечно, хорошо, но все-таки и без леммы Накаямы никак не обойтись. Подходящей формы ее, между тем, в моих текстах не было до сих пор пока; тут нужно некое обобщение.

Что такое, вообще, лемма Накаямы? В классической теории модулей есть, на самом деле, две ее версии, ни одна из которых не является частным случаем другой: 1. для радикала Джекобсона и конечно-порожденного модуля, и 2. для (конечно) нильпотентного идеала и произвольного модуля. Второй случай настолько прост, что обычно не удостаивается отдельного упоминания; но контрамодульная лемма Накаямы является именно его обобщением.

Пусть R -- ассоциативное кольцо, I -- его (скажем, двусторонний) идеал, такой что Iⁿ = 0 для некоторого натурального n, и пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IM = M, то M = 0. Очевидное доказательство я опущу, но отмечу, что утверждение это допускает не менее очевидное обобщение, которое реже можно увидеть где-либо сформулированным.

Пусть R -- ассоциативное кольцо и I₁, …, I_n -- его (скажем, двусторонние) идеалы, произведение которых I₁ … I_n есть нулевой идеал. Пусть M -- левый R-модуль. Тогда если I_iM = M для всех i = 1,…,n, то M = 0.

Контрамодульный вариант этого последнего утверждения -- это то, что нам нужно.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть J₁, J₂, … -- последовательность (скажем, правых и, для простоты, замкнутых) идеалов в R, такая что последовательность правых идеалов J₁, J₁J₂, J₁J₂J₃, … сходится к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы в этой последовательности произведений). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J_n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Доказательство на этот раз уже отнюдь не тривиально, но писать его здесь я все-таки не буду; оно такое же, как доказательство более привычной формы контрамодульной леммы Накаямы в разделе 1.3 слабо искривленного препринта.

Вместо этого, поступим в духе ЖЖ и дадим ссылку на радостный постинг июня 2006 года, возвестивший миру об открытии первой сформулированной в разумной общности версии леммы Накаямы для контрамодулей (тогда еще только над коалгебрами над полями) -- http://posic.livejournal.com/191812.html

А вот, кстати, постинг сентября 2003 года (12 лет назад!) о контрамодулях над целыми p-адическими числами, содержащий, помимо разных прочих утверждений, и сжатую формулировку леммы Накаямы для них -- http://posic.livejournal.com/107398.html