Полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме - 1

Квазикогерентным пучком кручения на инд-схеме называется правило, сопоставляющее любой ее замкнутой подсхеме квазикогерентный пучок на ней таким образом, что когда одна замкнутая подсхема содержится в другой, пучок меньшей из двух замкнутых подсхем получается из пучка на большей замкнутой подсхеме применением функтора максимального подпучка с (теоретико-схемным) носителем на замкнутой подсхеме.

Операции ядра морфизма, бесконечной прямой суммы и фильтрованного прямого предела в категории квазикогерентных пучков кручения строятся очевидным образом и коммутируют с функторами взятия компоненты (ограничения с носителем) на замнутой подсхеме. Чтобы построить коядро морфизма квазикогерентных пучков кручения, нужно взять коядро на каждой замкнутой подсхеме, рассмотреть его как квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме (сосредоточенный на замкнутой подсхеме), и перейти к прямому пределу таких квазикогерентных пучков кручения по всем замкнутым подсхемам.

Ключевую роль играет пара сопряженных функторов: взятие компоненты (ограничение с носителем) на замкнутой подсхеме -- прямой образ с замкнутой подсхемы. Второй функтор должен быть точен; первый точен слева; оба коммутируют с бесконечными прямыми суммами и фильтрованными прямыми пределами. (Такая же пара сопряженных функторов имеется и для любой замкнутой инд-подсхемы.) Как-то там должно проверяться, что категория квазикогерентных пучков кручения абелева (а также является категорией Гротендика).

Квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме инъективен тогда и только тогда, когда все его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы являются инъективными квазикогерентными пучками.

В случае инд-нетеровой инд-схемы, будем называть квазикогерентный пучок кручения когерентным, если он является прямым образом когерентного пучка с замкнутой подсхемы. Категория когерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме нетерова. Категория квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме эквивалентна категории инд-объектов в категории когерентных пучков кручения.

Полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме - 2

Копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме определяется обычным образом. Если инд-схема инд-нетерова (или хотя бы инд-когерентна с подходящим условием (локальной) конечной порожденности пучков идеалов замкнутых вложений -- кажется, это последнее называется reasonable ind-scheme, определение принадлежащит Бейлинсону), копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков кручения.

Пользуясь конструкцией гомотопического прямого предела последовательности ("телескопа"), можно показать, что комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме коацикличен (и, следовательно, стягиваем), если стягиваемы его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы. Отсюда следует, что если инд-схема инд-нетерова (или инд-когерентна и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то комплекс квазикогерентных пучков кручения на ней коацикличен, если коацикличны его ограничения на открытые инд-подсхемы, образующие (пусть даже и бесконечное) открытое покрытие.

Пусть теперь π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в более сильном смысле из нулевого постинга этой серии. Тогда если схема X инд-нетерова (или инд-когерентная и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то полупроизводная категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X определяется как факторкатегория гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории таких комплексов, что для любой открытой инд-подсхемы V ⊂ Y, которую π отображает аффинным морфизмом в открытую подсхему U ⊂ X, прямой образ ограничения этого комплекса V будет коацикличен как квазикогерентный пучок кручения на U.

Альтернативным образом, пусть π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в слабом смысле из того же постинга. Тогда полупроизводную категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X можно определить как факторкатегорию гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории комплексов, которые для любой квазикомпактной локально замкнутой подсхемы Z ⊂ X переводятся композицией функторов ограничения с носителем на открытую подсхему в Z ×_X Y, аффинную над Z, и прямого образа при морфизме из этой подсхемы в Z в коацикличные комплексы квазикогерентных пучков на Z.

Эти рассуждения показывают, что определение полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, плоско и квазикомпактно расслоенной над другой инд-схемой, как таковое не представляет проблемы даже при довольно слабом определении квазикомпактности морфизма инд-схем. Хотя нужно отметить, что мы здесь ограничивались морфизмами со слоями-схемами; случай, когда в слое оказывается (допустим, слабо прорегулярная в каком-то там смысле) формальная схема, не рассматривался.

Похоже, что намного более серьезные трудности в полубесконечной алгебраической геометрии неаффинных морфизмов инд-схем π возникают при попытке построения плоских резольвент пучков в послойном направлении.