![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Позор на мои седины
Aug. 3rd, 2015 05:54 pmПример 5.4 в работе http://arxiv.org/abs/1507.04691 целиком ошибочен.
Потому что если написать [x,y] = [x,[x,y]], то можно подставить это соотношение как выражение для левой части туда, где левая часть содержится в правой, так что получается [x,y] = [x,[x,[x,y]]]. И далее, [x,y] = [x,[x,[x,[x,y]]]], и так сколько угодно раз. Теперь если все это рассматривается в топологии (хотя бы даже лиевских) формальных степенных рядов по x и y, то можно перейти к пределу и получить просто [x,y] = 0.
Так что пронильпотентная алгебра Ли, задаваемая соотношением [x,y] = [x,[x,y]], на самом деле коммутативна, что совершенно очевидно. И то же самое остается верно для любого лиевского многочлена/ряда от x и y в правой части вместо [x,[x,y]]. И вообще, внешняя алгебра от двух образующих в степени 1 свободна как суперкоммутативная алгебра, что делает ее заведомо intrinsically formal. Позор на мои седины.
P.S. Пример, конечно, легко заделывается; достаточно завести дополнительную переменную-две и написать что-нибудь вроде [x,y] = [y,[y,z]] или [x,y] = [z,[z,w]] и т.п. Но писать ерунду в статье не следовало.
Потому что если написать [x,y] = [x,[x,y]], то можно подставить это соотношение как выражение для левой части туда, где левая часть содержится в правой, так что получается [x,y] = [x,[x,[x,y]]]. И далее, [x,y] = [x,[x,[x,[x,y]]]], и так сколько угодно раз. Теперь если все это рассматривается в топологии (хотя бы даже лиевских) формальных степенных рядов по x и y, то можно перейти к пределу и получить просто [x,y] = 0.
Так что пронильпотентная алгебра Ли, задаваемая соотношением [x,y] = [x,[x,y]], на самом деле коммутативна, что совершенно очевидно. И то же самое остается верно для любого лиевского многочлена/ряда от x и y в правой части вместо [x,[x,y]]. И вообще, внешняя алгебра от двух образующих в степени 1 свободна как суперкоммутативная алгебра, что делает ее заведомо intrinsically formal. Позор на мои седины.
P.S. Пример, конечно, легко заделывается; достаточно завести дополнительную переменную-две и написать что-нибудь вроде [x,y] = [y,[y,z]] или [x,y] = [z,[z,w]] и т.п. Но писать ерунду в статье не следовало.
