Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец

Развитие постингов http://posic.livejournal.com/908690.html , http://posic.livejournal.com/915115.html , http://posic.livejournal.com/1197492.html

Будем называть морфизм CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями CDG-модулей D^co(B-mod) → D^co(A-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий. Аналогично, будем называть морфизм CDG-колец f левой контраэквивалентностью, если эквивалентностью категорий является индуцированный функтор ограничения скаляров между контрапроизводными категориями CDG-модулей D^ctr(B-mod) → D^ctr(A-mod).

Пример: пусть A и B -- два неположительно когомологически градуированных, ограниченных по когомологической градуировке DG-кольца, подлежащие градуированные кольца которых нетеровы слева. Тогда всякий квазиизоморфизм DG-колец f: A → B является также их левой коэквивалентностью.

Доказательство: предположение нетеровости гарантирует компактную порожденность копроизводных категорий DG-модулей над A и B абсолютными производными категориями конечно-порожденных модулей. Предположение ограниченности когомологической градуировки DG-колец A и B гарантирует ограниченность когомологической градуировки любых конечно-порожденных модулей над ними, что в совокупности с предположением неположительности когомологической градуировки A и B означает, что любой ацикличный конечно-порожденный DG-модуль абсолютно ацикличен.

Всякий квазиизоморфизм DG-колец индуцирует эквивалентность обыкновенных производных категорий DG-модулей над ними, так что остается показать, что в наших предположениях эта эквивалентность отождествляет подкатегории конечно-порожденных DG-модулей. На самом деле, здесь нужно проверять две вещи: что производная категория конечно-порожденных DG-модулей является полной подкатегорией в производной категории всех DG-модулей, и что она совпадает там с полной подкатегорией DG-модулей, градуированный модуль когомологий которых конечно-порожден над нулевой компонентной (когомологий) DG-кольца.

Провести такое доказательство не очень сложно, но это не совсем то, что хотелось бы иметь, поскольку копроизводные категории существуют не для того, чтобы сводить вопросы про них к обычным производным категориям. Последнее возможно только в специальных случаях неположительно когомологически градуированных (или односвязных положительно когомологически градуированных) DG-колец, которыми наш интерес к DG- и CDG-кольцам никоим образом не исчерпывается.

Хотелось бы иметь нечто вроде критерия или достаточного условия коэквивалентности, которое было бы применимо к CDG-кольцам типа комплекса де Рама, и в то же время позволяло бы получить утверждение, сформулированное в примере выше, как частный случай.

Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 2

И все-таки, самым очевидным недостатком утверждения, сформулированного в примере в предыдущем постинге, является условие ограниченности когомологической градуировки DG-колец. Чтобы избавиться от него, нужно рассматривать неограниченные по когомологической градуировке неположительно когомологически градуированные DG-кольца как топологические DG-кольца в "адической топологии идеала элементов отрицательной когомологической градуировки". В практическом плане это означает -- ограничиться DG-модулями, в которых каждый элемент аннулируется умножением на все элементы DG-кольца достаточно больших отрицательных когомологических степеней.

(Линейной) топологией на градуированной абелевой группе называется семейство ее однородных подгрупп, замкнутое относительно операций перехода к конечному пересечению и к большей однородной подгруппе. Однородные подгруппы, принадлежащие этому семейству, называются открытыми. Топология на градуированной абелевой группе индуцирует топологии на каждой ее градуировочной компоненте, но не восстанавливается по этим индуцированным топологиям.

Топология на градуированной абелевой группе A называется полной и отделимой, если естественное отображение из A в проективный предел ее факторгрупп по открытым однородным подгруппам, вычисленный в категории градуированных абелевых групп, является изоморфизмом. Говоря от топологических абелевых группах, мы будем обычно предполагать их полными и отделимыми.

Однородное отображение (какой-то степени однородности) между топологическими градуированными абелевыми группами называется непрерывным, если полные однородные прообразы открытых однородных открытых подгрупп при этом отображении являются открытыми однородными подгруппами.

Топологическим градуированным кольцом R называется топологическая градуированная абелева группа, снабженная однородным, ассоциативным и унитальным умножением, непрерывным относительно топологии в следующем смысле. Во первых, для любой открытой однородной подгруппы U ⊂ R должны существовать открытые однородные подгруппы V и W ⊂ R, такие что VW ⊂ U. Во-вторых, для любой открытой однородной подгруппы U ⊂ R и любого однородного элемента x ∈ R должна найтись открытая однородная подгруппа W ⊂ R, такая что xW ⊂ U. В-третьих, для любой открытой однородной подгруппы U ⊂ R и любого однородного элемента y ∈ R должна найтись открытая однородная подгруппа V ⊂ R, такая что Vy ⊂ U. Последние два условия можно выразить, сказав, что отображения умножения на однородные элементы слева и справа должны быть непрерывны в топологии градуированной абелевой группы R.

Дискретным левым градуированным модулем над топологическим градуированным кольцом R называется градуированный левый R-модуль, в котором всякий элемент аннулируется некоторой открытой однородной подгруппой в кольце. Над топологическим градуированным кольцом, в котором открытые однородные правые идеалы образуют базу открытых однородных подгрупп (т.е., во всякой открытой однородной подгруппе содержится некоторый открытый однородный правый идеал), должно быть можно определить категорию градуированных левых контрамодулей.

Топологическим CDG-кольцом (В,d,h) называется топологическое градуированное кольцо, снабженное непрерывным нечетным дифференцированием d степени 1 и элементом h степени 2, образующими структуру CDG-кольца. Дискретным левым CDG-модулем над (B,d,h) называется левый CDG-модуль, подлежащий градуированный левый модуль которого дискретен.

Пример: любое CDG-кольцо (B,d,h) можно наделить топологией, в которой однородная подгруппа открыта, если она содержит все однородные элементы достаточно больших отрицательных когомологических степеней. Заметим, что индуцированная топология на всех градуировочных компонентах группы/кольца B в этом случае дискретна, но топология на B в целом дискретной не является, если только B не ограничена снизу в когомологической градуировке.

Можно и, наоброт, объявить открытыми такие однородные подгруппы в B, которые содержат все однородные элементы достаточно больших положительных когомологических степеней; это будет другая естественная структура топологического CDG-кольца на произвольном CDG-кольце (B,d,h).