![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие постингов http://posic.livejournal.com/908690.html , http://posic.livejournal.com/915115.html , http://posic.livejournal.com/1197492.html
Будем называть морфизм CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями CDG-модулей Dco(B-mod) → Dco(A-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий. Аналогично, будем называть морфизм CDG-колец f левой контраэквивалентностью, если эквивалентностью категорий является индуцированный функтор ограничения скаляров между контрапроизводными категориями CDG-модулей Dctr(B-mod) → Dctr(A-mod).
Пример: пусть A и B -- два неположительно когомологически градуированных, ограниченных по когомологической градуировке DG-кольца, подлежащие градуированные кольца которых нетеровы слева. Тогда всякий квазиизоморфизм DG-колец f: A → B является также их левой коэквивалентностью.
Доказательство: предположение нетеровости гарантирует компактную порожденность копроизводных категорий DG-модулей над A и B абсолютными производными категориями конечно-порожденных модулей. Предположение ограниченности когомологической градуировки DG-колец A и B гарантирует ограниченность когомологической градуировки любых конечно-порожденных модулей над ними, что в совокупности с предположением неположительности когомологической градуировки A и B означает, что любой ацикличный конечно-порожденный DG-модуль абсолютно ацикличен.
Всякий квазиизоморфизм DG-колец индуцирует эквивалентность обыкновенных производных категорий DG-модулей над ними, так что остается показать, что в наших предположениях эта эквивалентность отождествляет подкатегории конечно-порожденных DG-модулей. На самом деле, здесь нужно проверять две вещи: что производная категория конечно-порожденных DG-модулей является полной подкатегорией в производной категории всех DG-модулей, и что она совпадает там с полной подкатегорией DG-модулей, градуированный модуль когомологий которых конечно-порожден над нулевой компонентной (когомологий) DG-кольца.
Провести такое доказательство не очень сложно, но это не совсем то, что хотелось бы иметь, поскольку копроизводные категории существуют не для того, чтобы сводить вопросы про них к обычным производным категориям. Последнее возможно только в специальных случаях неположительно когомологически градуированных (или односвязных положительно когомологически градуированных) DG-колец, которыми наш интерес к DG- и CDG-кольцам никоим образом не исчерпывается.
Хотелось бы иметь нечто вроде критерия или достаточного условия коэквивалентности, которое было бы применимо к CDG-кольцам типа комплекса де Рама, и в то же время позволяло бы получить утверждение, сформулированное в примере выше, как частный случай.
Будем называть морфизм CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями CDG-модулей Dco(B-mod) → Dco(A-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий. Аналогично, будем называть морфизм CDG-колец f левой контраэквивалентностью, если эквивалентностью категорий является индуцированный функтор ограничения скаляров между контрапроизводными категориями CDG-модулей Dctr(B-mod) → Dctr(A-mod).
Пример: пусть A и B -- два неположительно когомологически градуированных, ограниченных по когомологической градуировке DG-кольца, подлежащие градуированные кольца которых нетеровы слева. Тогда всякий квазиизоморфизм DG-колец f: A → B является также их левой коэквивалентностью.
Доказательство: предположение нетеровости гарантирует компактную порожденность копроизводных категорий DG-модулей над A и B абсолютными производными категориями конечно-порожденных модулей. Предположение ограниченности когомологической градуировки DG-колец A и B гарантирует ограниченность когомологической градуировки любых конечно-порожденных модулей над ними, что в совокупности с предположением неположительности когомологической градуировки A и B означает, что любой ацикличный конечно-порожденный DG-модуль абсолютно ацикличен.
Всякий квазиизоморфизм DG-колец индуцирует эквивалентность обыкновенных производных категорий DG-модулей над ними, так что остается показать, что в наших предположениях эта эквивалентность отождествляет подкатегории конечно-порожденных DG-модулей. На самом деле, здесь нужно проверять две вещи: что производная категория конечно-порожденных DG-модулей является полной подкатегорией в производной категории всех DG-модулей, и что она совпадает там с полной подкатегорией DG-модулей, градуированный модуль когомологий которых конечно-порожден над нулевой компонентной (когомологий) DG-кольца.
Провести такое доказательство не очень сложно, но это не совсем то, что хотелось бы иметь, поскольку копроизводные категории существуют не для того, чтобы сводить вопросы про них к обычным производным категориям. Последнее возможно только в специальных случаях неположительно когомологически градуированных (или односвязных положительно когомологически градуированных) DG-колец, которыми наш интерес к DG- и CDG-кольцам никоим образом не исчерпывается.
Хотелось бы иметь нечто вроде критерия или достаточного условия коэквивалентности, которое было бы применимо к CDG-кольцам типа комплекса де Рама, и в то же время позволяло бы получить утверждение, сформулированное в примере выше, как частный случай.
