Ко-контра соответствие для локально нетеровых абелевых категорий

Пусть A -- локально нетерова абелева категория Гротендика, J -- какой-нибудь ее инъективный объект, прямыми слагаемыми прямых сумм копий которого являются все остальные инъективные объекты (достаточно взять прямую сумму инъективных оболочек всех факторобъектов образующего объекта А). Обозначим через R кольцо эндоморфизмов Hom_A(J,J) объекта J ∈ A, снабженное топологией, в которой базу открытых окрестностей нуля составляют аннуляторы нетеровых подобъектов в J. Такие аннуляторы являются левыми идеалами в R; поскольку мы предпочитаем говорить о левых контрамодулях над кольцами, в которых правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, нас будут интересовать левые контрамодули над кольцом R^op, противоположным к R.

Заметим, что группы морфизмов в полной подкатегории в A, объектами которой являются прямые суммы копий J, вычисляются по формуле Hom_A(J^(X),J^(Y)) = projlim_B Hom_A (B^(X),J^(Y)) = ∏_X projlim_B ∐_Y Hom_A(B,J) для любых двух множеств X и Y, где B пробегает нетеровы подобъекты в J. В то же время, группы морфизмов в категории свободных левых R^op-контрамодулей вычисляются по формуле Hom_R^op(R^op[[X]],R^op[[Y]]) = ∏_X R^op[[Y]] = ∏_X projlim_I^op ∐_Y R^op/I^op[Y], где I^op пробегает открытые правые идеалы в R^op. Поскольку R/I = Hom_A(B,J) для I = Ann B ⊂ R, мы, в сущности, показали, что полная подкатегория прямых сумм копий объекта J в A эквивалентна полной подкатегории свободных контрамодулей в R^op-contra.

Добавляя прямые слагаемые, мы убеждаемся, что аддитивная категория инъективных объектов в A эквивалентна аддитивной категории проективных объектов в R^op-contra. Наконец, ясно, что бесконечные прямые суммы в этой категории сохраняются функторами вложения в категорию A (которая, напомним, предполагается локально нетеровой) и в R^op-contra, и что в ней есть бесконечные произведения, сохраняемые функтором вложения в A. Покажем, что бесконечные произведения в категории проективных R^op-контрамодулей (которые там существуют, поскольку они существуют в категории инъективных объектов в A) являются одновременно их бесконечными произведениями в объемлющей абелевой категории R^op-contra.

На самом деле, это верно в любой точной категории с достаточным количеством проективных объектов. Достаточно представить произвольный R^op-контрамодуль P в виде коядра морфизма проективных R^op-контрамодулей E' → E'' и посчитать Hom из Р каждый объект семейства проективных R^op-контрамодулей F_α и в их произведение, вычисленное в категории проективных R^op-контрамодулей, как ядро морфизма групп Hom из объектов E'' и E'.

Мы всегда знали, что копроизводная D^co(A) эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных объектов Hot(A_inj); из результата последних двух абзацев следует также, что контрапроизводная категория D^ctr(R^op-contra) эквивалентна гомотопической категории комплексов проективных контрамодулей Hot(R^op-contra_proj). Таким образом, построена эквивалентность триангулированных категорий

D^co(A) = D^ctr(R^op-contra),

доставляющая собой обещанное производное ко-контра соответствие для любой локально нетеровой абелевой категории A. Единственное, чего здесь ощутимо недостает -- это какого-нибудь (по возможности, прямого) доказательства того, что абелева категория R^op-модулей не зависит от выбора инъективного объекта J в абелевой категории A, удовлетворяющего сформулированному в начале условию.

Впрочем, не вполне прямое доказательство этого несложно: вообще, абелева категория с достаточным количеством проективных объектов однозначно категорией своих проективных объектов определяется. (Предположить две такие абелевы категории; продолжить отождествление подкатегорий проективных объектов до точных справа функторов в обе стороны между ними; отметить, что обе композиции изоморфны тождественным функторам.)

Теперь, кстати, можно принять за A категорию квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме и вернуться к сюжету старых постингов http://posic.livejournal.com/365249.html и http://posic.livejournal.com/445085.html ...