![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение сентябрьского постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский http://posic.livejournal.com/1160333.html
Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Конечный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если
- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj limn R/In → RHomR(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых In в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/In-модулями.
Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomR(B,−) и B⊗LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.
Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.
Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда HomR(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHomR(B,B). Более того, комплекс R-модулей HomR(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗R HomR(K,K) = HomR(HomR(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → HomR(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/In → HomR(K,K)/In(K,K) = HomR/In((In)K, (In)K).
Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/In-модулей (In)K имеет конечно-порожденные R/In-модули когомологий.
(Продолжение следует.)
Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Конечный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если
- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj limn R/In → RHomR(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых In в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/In-модулями.
Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomR(B,−) и B⊗LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.
Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.
Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда HomR(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHomR(B,B). Более того, комплекс R-модулей HomR(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗R HomR(K,K) = HomR(HomR(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → HomR(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/In → HomR(K,K)/In(K,K) = HomR/In((In)K, (In)K).
Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/In-модулей (In)K имеет конечно-порожденные R/In-модули когомологий.
(Продолжение следует.)
