![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1104287.html и т.д.
До сих пор мы обсуждали только формальные схемы, представленные в виде формальных пополнений замкнутых подсхем в нетеровых схемах. Вопрос об обобщении на случай произвольных нетеровых формальных схем поднимался еще в третьем постинге этой серии в качестве мотивации для дальнейшей дискуссии. Сейчас настало время предложить ответ на него.
Ключевым понятием является то, что можно было бы назвать "антидуализирующим" или "дедуализирующим" комплексом квазикогерентных пучков кручения на нетеровой формальной схеме. Определение его похоже на знакомое (по книжке Residues and Duality и т.д.) определение дуализирующего комплекса на (локально) нетеровой схеме, с единственной разницей, что слово "инъективный" (в словосочетании "инъективная (гомологическая) размерность") заменяется на "проективный".
Итак, конечный комплекс квазикогерентных пучков кручения B на нетеровой формальной схеме Z называется антидуализирующим комплексом, если
1. комплекс B имеет конечную проективную размерность, как объект Db(Z-tors);
2. для любой (обычной -- не формальной) локально замкнутой подсхемы k: Y → Z, комплекс квазикогерентных пучков Rk!B на Y имеет когерентные пучки когомологий (или, что должно быть эквивалентно, квазикогерентные пучки k!Hn(B) на Y когерентны); и
3. в ограничении на каждую аффинную открытую формальную подсхему V ⊂ Z, естественное отображение из полного нетерова кольца O(V) в градуированное кольцо EndD(V-tors)(B|V, B|V) является изоморфизмом градуированных колец.
Например, на обычной нетеровой схеме X, рассматриваемой как формальная схема, структурный пучок OX является антидуализирующим комплексом. Далее, утверждается, что для формального пополнения Z нетеровой схемы X вдоль ее замкнутой подсхемы Y, комплекс пучков кручения RiZ!OX является антидуализирующим комплексом на Z.
Ожидается, что вышеперечисленные или близкие к ним условия должны быть необходимы и достаточны для того, чтобы функторы контратензорного произведения с комплексом B и контрагерентных внутренних гомоморфизмов из него устанавливали эквивалентность между обычными прозводными категориями квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей D(Z-tors) и D(Z-contra).
В частности, если Z -- аффинная формальная схема, то функтор контратензорного произведения с B переводит свободный контрамодуль с одной образующей R = O(Z) в комплекс модулей кручения B. Таким образом, условие 3 в форме O(Z) = HomD(Z-tors)(B,B) является в такой ситуации необходимым (для эквивалентности категорий). Поскольку в работе Dwyer-Greenlees, похоже, установлено, что их комплекс индуцирует эквивалентность категорий D(R-tors) = D(R-contra), отсюда таким кружным путем должно следовать, что он удовлетворяет условию 3.
В той же работе можно надеяться найти достаточно средств (см. напр. раздел 2 и предложение 6.1) для доказательства того, что их эквивалентность категорий совпадает с построенной Porta-Shaul-Yekutieli.
До сих пор мы обсуждали только формальные схемы, представленные в виде формальных пополнений замкнутых подсхем в нетеровых схемах. Вопрос об обобщении на случай произвольных нетеровых формальных схем поднимался еще в третьем постинге этой серии в качестве мотивации для дальнейшей дискуссии. Сейчас настало время предложить ответ на него.
Ключевым понятием является то, что можно было бы назвать "антидуализирующим" или "дедуализирующим" комплексом квазикогерентных пучков кручения на нетеровой формальной схеме. Определение его похоже на знакомое (по книжке Residues and Duality и т.д.) определение дуализирующего комплекса на (локально) нетеровой схеме, с единственной разницей, что слово "инъективный" (в словосочетании "инъективная (гомологическая) размерность") заменяется на "проективный".
Итак, конечный комплекс квазикогерентных пучков кручения B на нетеровой формальной схеме Z называется антидуализирующим комплексом, если
1. комплекс B имеет конечную проективную размерность, как объект Db(Z-tors);
2. для любой (обычной -- не формальной) локально замкнутой подсхемы k: Y → Z, комплекс квазикогерентных пучков Rk!B на Y имеет когерентные пучки когомологий (или, что должно быть эквивалентно, квазикогерентные пучки k!Hn(B) на Y когерентны); и
3. в ограничении на каждую аффинную открытую формальную подсхему V ⊂ Z, естественное отображение из полного нетерова кольца O(V) в градуированное кольцо EndD(V-tors)(B|V, B|V) является изоморфизмом градуированных колец.
Например, на обычной нетеровой схеме X, рассматриваемой как формальная схема, структурный пучок OX является антидуализирующим комплексом. Далее, утверждается, что для формального пополнения Z нетеровой схемы X вдоль ее замкнутой подсхемы Y, комплекс пучков кручения RiZ!OX является антидуализирующим комплексом на Z.
Ожидается, что вышеперечисленные или близкие к ним условия должны быть необходимы и достаточны для того, чтобы функторы контратензорного произведения с комплексом B и контрагерентных внутренних гомоморфизмов из него устанавливали эквивалентность между обычными прозводными категориями квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей D(Z-tors) и D(Z-contra).
В частности, если Z -- аффинная формальная схема, то функтор контратензорного произведения с B переводит свободный контрамодуль с одной образующей R = O(Z) в комплекс модулей кручения B. Таким образом, условие 3 в форме O(Z) = HomD(Z-tors)(B,B) является в такой ситуации необходимым (для эквивалентности категорий). Поскольку в работе Dwyer-Greenlees, похоже, установлено, что их комплекс индуцирует эквивалентность категорий D(R-tors) = D(R-contra), отсюда таким кружным путем должно следовать, что он удовлетворяет условию 3.
В той же работе можно надеяться найти достаточно средств (см. напр. раздел 2 и предложение 6.1) для доказательства того, что их эквивалентность категорий совпадает с построенной Porta-Shaul-Yekutieli.
