MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 8

Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1102817.html и далее по ссылкам

Попросту, мутная философия из предыдущего постинга означает следующее. Эквивалентность между обычными производными категориями квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков на формальном пополнении Z нетеровой схемы X вдоль ее замкнутой подсхемы Y задается функторами контратензорного произведения с и контрагерентных гомоморфизмов из конечного комплекса пучков кручения на Z -- образа пучка OX при правом производном функторе перехода к максимальному подпучку, сосредоточенному теоретико-множественно на Y, или, лучше сказать, являющемуся пучком кручения на Z. На языке формул, этот комплекс называется RiZ! OX = ind-limn RiYn! OX -- прямой предел по инфинитезимальным утолщениям Y внутри X экстраординарных производных ограничений структурного пучка схемы X на эти замкнутые подсхемы.

Будем обозначать морфизм вложения формальной подсхемы просто через i: Z → X. Предположим сначала, что X = Spec A -- аффинная нетерова схема, Y = Spec A/I, и идеал I ⊂ A порожден конечным набором элементов r_i. Тогда комплекс i_*Ri^!O_X, рассматриваемый как объект производной категориии D(X-qcoh), как раз представляется конечным комплексом свободных A-модулей, рассматриваемым в работе Dwyer-Greenlees (см. третий постинг http://posic.livejournal.com/1098133.html в этой серии). Последний комплекс строится как (гомотопический) прямой предел комплексов Кошуля фиксированной длины, равной числу образующих r_i идеала I; так что получается комплекс конечной длины, составленный из свободных A-модулей бесконечного ранга.

Заметим теперь, что объект Ri^!O_X является конечным комплексом конечной проективной размерности в абелевой категории квазикогерентных пучков кручения Z-tors. В самом деле, достаточно рассмотреть случай аффинных схем. Тогда этот комплекс ацикличен в высоких когомологических степенях, поскольку таков его прямой образ при морфизме i (так что, будучи комплексом, ограниченным снизу, он был бы изоморфен конечному комплексу даже в копроизводной категории квазикогерентных пучков кручения). Далее, для любого объекта F из Z-tors,

Ext_Z-tors(Ri^!O_X, F) = Ext_X-qcoh(i_*Ri^!O_X, i_*F),

что равно нулю в высоких когомологических степенях в силу того же вычисления объекта i_*Ri^!O_X в D(X-qcoh). Заметим, что в категории квазикогерентных модулей кручения R-tors, даже для аффинной формальной схемы Z = Specf R, нет, вообще говоря, никаких проективных объектов -- что не мешает существованию там конечных комплексов (а иногда и объектов) конечной проективной размерности.

Наконец, связь с конструкцией из второго постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html этой серии, использующей открытое дополнение U к формальной подсхеме Z в X, осуществляется, конечно, выделенным треугольником i_*Ri^!O_X → O_X → Rj_*j*O_X → в производной категории D(X-qcoh). Треугольник этот, кстати, является заодно и простейшим альтернативным способом доказательства двусторонней ограниченности и конечности плоской/очень плоской/проективной размерности комплекса i_*Ri^!O_X.

Научное сообщество

http://igorpak.wordpress.com/2014/09/12/how-not-to-reference-papers/

Домашняя страница автора -- http://www.math.ucla.edu/~pak/

Upd.: предыдущая статья того же автора на близкую тему -- http://igorpak.wordpress.com/2013/05/28/what-do-math-journals-do/

UUpdate: см. также http://ayudug.livejournal.com/280047.html

Из старого разговора о математическом сообществе (к предыдущему)

В связи с появлением блог-постинга Игоря Пака на wordpress, прислушаюсь к старинной просьбе юзера gr_s и вынесу из-под замка мою запись и основную часть развивающих ее комментов 10-месячной давности (доступно френдам по адресу http://posic.livejournal.com/1021733.html ).

Поводом для моих ламентаций тогда послужил постинг юзера ivanov_petrov. Ниже воспроизведен сначала мой заглавный постинг, а потом мои комменты под ним, датированные концом ноября 2013 года (за вычетом элементов контекста разговора, не представляющих большого общественного интереса).

------

Заглавный постинг со ссылкой:

О, как это было бы нелепо!..

http://ivanov-petrov.livejournal.com/1854276.html

Появляется ценность "малого коллектива". Государство отказалось от поддержки науки, она вынуждена выживать в агрессивной среде, происходит это путем образования "малых банд" взаимной поддержки. Возникает естественная этика малых групп - друг своих друзей, верный слову и не сдающий товарищей, и прочие понятные вещи - вне малых групп позволено всё, там этика не работает. Никаких "общечеловеческих" обязанностей и прочей лабуды.

<...>

Границы проходят между "командами", так что, заостряя, можно сказать - неученый и ненаука - это те, кто принадлежит к другой команде. Можно видеть, как современные паранауки - что Фоменко, что Гумилев, что еще триста примеров - ведут себя именно так. Это малые группы сторонников, борющихся за общее дело. Ну, конечно, и сторонники "правильной науки" организованы в такие же сообщества.

... когда бы не было так похоже на близкое к правде.

------

Комменты:

I. Как общетеоретическое, так сказать, положение -- этика внутри малых групп с "беспределом" снаружи кажется мне обычной картиной, наблюдаемой в условиях этической деградации, одичания. В банде уголовников есть подобие этики в отношениях между членами банды, при если не полном отсутствии этических ограничений, то гораздо более слабых этических ограничениях в отношениях с "внешними". Дикое племя поддерживает (пусть и искаженное) подобие этики в отношениях между собой, а остальные племена оно готово в любой момент более-менее поголовно физически уничтожить. И т.д.

Эта ситуация -- закономерна в той мере, в которой соблюдение этических ограничений позволяет добиваться, в сколько-нибудь отдаленной перспективе, лучших результатов, чем их несоблюдение. В мире борьбы больших групп состоять в большой группе удобнее, чем в малой. В мире борьбы малых групп состоять в малой группе удобнее, чем выступать одиночкой. Поэтому, если люди не способны соблюдать этические нормы по отношению ко всем другим людям, они будут стремиться соблюдать их, по крайней мере, по отношению к какой-то группе. Если нет нравственных или умственных сил даже на лояльность соплеменникам, люди будут стремиться поддерживать лояльность хотя бы по отношению к членам семьи или узкому кругу друзей, и т.д.

Дальше, понятно, можно говорить о динамике -- позитивной, в ходе которой размер групп, в которых до какой-то там степени соблюдаются этические нормы, увеличивается. Или негативной, в ходе которой этот размер уменьшается.

II. Дальше, можно говорить о том, что происходит в современной мне математике, как я это вижу. Советских реалий я не застал и знаю о них понаслышке; зато сейчас я наблюдаю реалии, так сказать, международные. До какой-то степени, и в динамике (все-таки со времен, когда я был аспирантом в Гарварде, прошло уже больше пятнадцати лет).

Я помню времена, когда математики славились среди нематематиков тем, что они взаимно признают друг друга. Спросить у одного математика про другого, широко известного, математика -- отзыв будет, как минимум, сдержанно уважительным. Сейчас я вижу, как увеличивается характерная величина разрыва между отзывами математиков Икс и Игрек о математике Зет. То есть Икс числит Зета в числе крупнейших математиков столетия, а Игрек заявляет, что Зет не сделал вообще ничего значительного.

При этом Икс, Игрек и Зет могут происходить из одного и того же Гарварда-MIT-и т.д. А разница между ними в том, что Игрек и Зет оказались в данный момент конкурентами, а Икс в роли потребителя предпочел Зета Игреку. Сам же я вижу -- что оба отзыва равно неадекватны, и являются, в сущности, публичной демонстрацией безответственности людей, которым традициями самоуправления научного сообщества доверено принимать решения, судьбоносные для его членов.

Я рассказываю самым разным знакомым математикам о своих трудностях с редакциями международных журналов -- и раз за разом слышу в ответ одно и то же. Мафизность. Групповщина усилилась. Никому не интересно публиковать "чужих". Ты пробовал немафиозные журналы -- раз, два, три? Только список "немафиозных" журналов у каждого моего собеседника свой. Я вспоминаю историю своих отношений с этими раз-два-три -- и вижу в ней прозрачные приглашения вступить в состав соответствующих "мафий".

III. Наконец, о чем, собственно, идет речь в этих разговорах об этике, "бандах" и "беспределе", применительно к научным сообществам? Достоверно установленных случаев заказных убийств одних ученых по инициативе других ученых мы вроде бы не знаем, или, по крайней мере, я не знаю. Выяснение отношений с помощью правоохранительных органов и спецслужб, с обвинениями в политической неблагонадежности и шпионаже, было характерно для ситуации в СССР. В постсоветской России такое, очевидно, случается реже, и т.д.

На самом деле, речь идет о действиях, совершаемых учеными в их должностном качестве. О рецензировании, рекомендательных письмах, голосованиях по найму на работу, и т.д.

Ясно, что самоуправление научного сообщества в условиях монополизации государствами источников финансирования -- штука, как минимум, проблематичная. "Дайте нам денег, мы их между собой поделим, как сочтем нужным, а вам ничего конкретного взамен не дадим и отчитываться перед вами по существу не будем," -- странная и неконструктивная постановка вопроса. Чиновники и депутаты, понимая это, начинают вмешиваться и направлять по своему разумению, от чего получается, конечно, еще хуже. Вытеснение ученых карьеристами от науки в этих условиях более-менее неизбежно.

Даже самый настоящий ученый, с настоящими значимыми научными результатами и достижениями -- сталкивается при этом с соблазнами более тонкими, чем соблазн настучать в гебуху, но, если им поддаваться, тоже вполне разрушительными.

Есть разница между тем, как Икс оценивает 1. объективную научную значимость идей Игрека, 2. свое личное познавательное/эстетическое наслаждение от идей Игрека, 3. перспективы использования результатов Игрека для продвижения своих, Иксовых, личных научно-исследовательских целей, и 4. перспективы использования Игрека и его результатов для продвижения своих, Иксовых, личных карьерных и бытовых устремлений. Условно говоря -- эмоционально незрелый Икс будет смешивать 1 и 2; интеллектуально нечестный Икс будет путать 1-2 с 3; нравственно нечистоплотный Икс смешает все от 1 и вплоть до 4.

Результатом становится та самая "мафиозность" и "групповщина малых групп". И вытекающая из нее затрудненность, как теперь говорят, "выживания в академии" (to survive in academia) без примыкания к одной из существующих "мафий" или создания своей собственной. О чем тоже приходится читать и слышать.

Вот об этом, примерно, идет речь. Что научные работы "внутри малой группы" оцениваются (по крайней мере, в немалой степени) по их научному значению, а "снаружи" -- по посторонним соображениям (и в этом смысле, "выносятся за пределы науки", с точки зрения членов "малой группы", по крайней мере, потенциально).

Уменьшается ли "пирог" материальных благ или увеличивается -- в этих условиях, в самом деле, не столь важно. Говорят, большинство людей, когда они сыты, подобрее и как-то даже поприличнее ведут себя, чем когда голодны; но вряд ли, действительно, именно эта разница тут решающая.

Для комплекта: старинная песенка

http://www.youtube.com/watch?v=qU_j5cQ2sfQ

http://en.wikipedia.org/wiki/Tom_Lehrer
http://en.wikiquote.org/wiki/Tom_Lehrer