![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение постингов http://posic.livejournal.com/1096155.html и http://posic.livejournal.com/1094998.html
Пучково-копучковая конструкция MGM-двойственности, изложенная в предыдущем постинге, применима к любой нетеровой формальной схеме Z, допускающей замкнутое вложение в обычную нетерову схему (по крайней мере, в предположениях типа полуотделимости). Нужно просто заменить упоминания R-модулей кручения на квазикогерентные пучки кручения на Z, а R-контрамодули на контрагерентные копучки контрамодулей. Хотелось бы обобщить эту конструкцию на случай произвольной нетеровой формальной схемы, избавившись от использования вложения в обычную схему и манипуляций с открытым дополнением.
Я не знаю, как это делать, но можно для начала вспомнить, в чем состояла классическая конструкция MGM. Согласно работе трех авторов http://arxiv.org/abs/1010.4386 , производные функторы функторов максимального подмодуля I∞-кручения и I-адического пополнения на неограниченной производной категории A-модулей являются проекторами на две полные триангулированные категории, а их ограничения на эти две подкатегории задают взаимно-обратные триангулированные эквивалентности между ними.
Заметим, что функтор максимального подмодуля I∞-кручения имеет конечную гомологическую размерность, которая оценивается через число образующих идеала I (поскольку это верно для функтора прямого образа j*, составляющего вместе с ним выделенный треугольник локализации/вырезания). Вероятно, то же верно и применительно к производному функтору I-адического пополнения (на категории бесконечно-порожденных A-модулей; для конечно-порожденных модулей-то он просто точен по лемме Артина-Риса). Отсюда можно предположить, что подобная конструкция MGM-двойственности работает одинаково для всех видов ограниченных/неограниченных обычных/абсолютных производных категорий.
Другая релевантная ссылка -- это работа Dwyer, Greenlees "Complete modules and torsion modules" (http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/archive/dwyer-greenlees.html , http://www.greenlees.staff.shef.ac.uk/preprints.html , http://www3.nd.edu/~wgd/ , http://www.jstor.org/stable/25099110 ). Сравнение теорий, изложенных в этой работе и в работе по предыдущей ссылке -- это еще отдельный вопрос, но похоже все же на то, что для нетеровых колец они эквивалентны.
Согласно предложениям 6.12 и 6.15 из последней работы, свойство принадлежности (в наших обозначениях) комплекса A-модулей к одной из двух обсуждаемых в ней подкатегорий в производной категории зависит только от A-модулей когомологий этого комплекса. В этом случае, подкатегории, о которых идет речь, должны быть просто производными категориями R-модулей кручения и R-контрамодулей, вложенными в производную категорию A-модулей функторами, индуцированными функторами вложения соответствующих абелевых категорий (см. обсуждение в конце предыдущего постинга).
Секция 4.1 и предложение 6.10 той же работы предлагают альтернативное описание функторов проекции производной категории A-модулей на две полные подкатегории. Проекция на подкатегорию комплексов модулей кручения строится как тензорное произведение с некоторым конечным комплексом свободных A-модулей, а проекция на подкатегорию комплексов контрамодулей -- как Hom из того же комплекса A-модулей. В простейшем примере с A = Z и I = pZ, комплекс, о котором идет речь, квазиизоморфен абелевой группе Qp/Zp, сдвинутой по когомологической градуировке на [−1].
Пучково-копучковая конструкция MGM-двойственности, изложенная в предыдущем постинге, применима к любой нетеровой формальной схеме Z, допускающей замкнутое вложение в обычную нетерову схему (по крайней мере, в предположениях типа полуотделимости). Нужно просто заменить упоминания R-модулей кручения на квазикогерентные пучки кручения на Z, а R-контрамодули на контрагерентные копучки контрамодулей. Хотелось бы обобщить эту конструкцию на случай произвольной нетеровой формальной схемы, избавившись от использования вложения в обычную схему и манипуляций с открытым дополнением.
Я не знаю, как это делать, но можно для начала вспомнить, в чем состояла классическая конструкция MGM. Согласно работе трех авторов http://arxiv.org/abs/1010.4386 , производные функторы функторов максимального подмодуля I∞-кручения и I-адического пополнения на неограниченной производной категории A-модулей являются проекторами на две полные триангулированные категории, а их ограничения на эти две подкатегории задают взаимно-обратные триангулированные эквивалентности между ними.
Заметим, что функтор максимального подмодуля I∞-кручения имеет конечную гомологическую размерность, которая оценивается через число образующих идеала I (поскольку это верно для функтора прямого образа j*, составляющего вместе с ним выделенный треугольник локализации/вырезания). Вероятно, то же верно и применительно к производному функтору I-адического пополнения (на категории бесконечно-порожденных A-модулей; для конечно-порожденных модулей-то он просто точен по лемме Артина-Риса). Отсюда можно предположить, что подобная конструкция MGM-двойственности работает одинаково для всех видов ограниченных/неограниченных обычных/абсолютных производных категорий.
Другая релевантная ссылка -- это работа Dwyer, Greenlees "Complete modules and torsion modules" (http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/archive/dwyer-greenlees.html , http://www.greenlees.staff.shef.ac.uk/preprints.html , http://www3.nd.edu/~wgd/ , http://www.jstor.org/stable/25099110 ). Сравнение теорий, изложенных в этой работе и в работе по предыдущей ссылке -- это еще отдельный вопрос, но похоже все же на то, что для нетеровых колец они эквивалентны.
Согласно предложениям 6.12 и 6.15 из последней работы, свойство принадлежности (в наших обозначениях) комплекса A-модулей к одной из двух обсуждаемых в ней подкатегорий в производной категории зависит только от A-модулей когомологий этого комплекса. В этом случае, подкатегории, о которых идет речь, должны быть просто производными категориями R-модулей кручения и R-контрамодулей, вложенными в производную категорию A-модулей функторами, индуцированными функторами вложения соответствующих абелевых категорий (см. обсуждение в конце предыдущего постинга).
Секция 4.1 и предложение 6.10 той же работы предлагают альтернативное описание функторов проекции производной категории A-модулей на две полные подкатегории. Проекция на подкатегорию комплексов модулей кручения строится как тензорное произведение с некоторым конечным комплексом свободных A-модулей, а проекция на подкатегорию комплексов контрамодулей -- как Hom из того же комплекса A-модулей. В простейшем примере с A = Z и I = pZ, комплекс, о котором идет речь, квазиизоморфен абелевой группе Qp/Zp, сдвинутой по когомологической градуировке на [−1].
