Еще одна теория кокручения, без которой мне никак не обойтись (в конечном итоге)

называется "FP". На самом деле, теория эта нужна для того, чтобы работать с когерентными кольцами (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от бесконечного числа переменных по конечно-порожденному идеалу соотношений) так, как без нее можно было бы работать только с нетеровыми (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от конечного числа переменных по идеалу соотношений).

Напомним, что ассоциативное кольцо R называется когерентным слева, если любой конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого левого R-модуля конечно-представим. Конечно-преставимые левые модули над когерентным слева кольцом R образуют абелеву категорию (с точным функтором вложения в категорию всех модулей).

Пусть R -- когерентное слева кольцо. Левый R-модуль J называется FP-инъективным, если Ext_R¹(M,J) = 0 для любого конечно-представимого левого R-модуля M, или, что эквивалентно, Ext_R^>0(M,J) = 0 для любого такого M. (Утверждение об эквивалентности этих двух условий уже использует когерентность слева кольца R.)

Лемма 1. Класс FP-инъективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к коядру вложения, расширений, бесконечных прямых сумм и произведений, а также относительно направленных индуктивных пределов.

Левый R-модуль P называется FP-проективным, если Ext_R¹(P,J) = 0 для любого FP-инъективного левого R-модуля J, или, что эквивалентно, Ext_R^>0(P,J) = 0 для любого такого J. (Утверждение об эквивалентности этих определений выводится из леммы 1.)

Лемма 2. а) Класс FP-проективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к ядру сюръекции, расширений и бесконечных прямых сумм, а также, более общим образом, относительно трансфинитно-итерированных (в смысле индуктивного предела) расширений.
б) Левый R-модуль FP-проективен тогда и только тогда, когда он изоморфен прямому слагаемому трансфинитно-итерированного расширения конечно-представимых левых R-модулей.

Утверждение леммы 2а), понятное дело, доказывается гораздо легче утверждения леммы 2б), доказательство которого требует теоретико-множественной техники и проводится одновременно с доказательством следующей леммы 3.

Лемма 3. а) Всякий левый R-модуль является фактормодулем подходящего FP-проективного левого R-модуля по некоторому его FP-инъективному R-подмодулю.
б) Всякий левый R-модуль можно вложить в подходящий FP-инъективный левый R-модуль так, чтобы фактормодуль был FP-проективен.

Следующая лемма демонстрирует идею использования FP-инъективных модулей в контексте дуализирующих комплексов, ковариантной двойственности и т.п.:

Лемма 4. Пусть S -- ассоциативное кольцо, R -- когерентное справа кольцо, J -- инъективный левый S-модуль, и K -- S-R-бимодуль, являющийся FP-инъективным правым R-модулем. Тогда левый R-модуль Hom_S(K,J) является плоским.

Зачем все это нужно? Ответ на этот вопрос можно дать на двух уровнях:

- Нетеровы слева кольца хороши тем, что над ними класс инъективных модулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм (а не только относительно бесконечных произведений, как над произвольным ассоциативным кольцом). Замена инъективных модулей на FP-инъективные позволяет иметь свойство замкнутости относительно бесконечных прямых сумм не только над нетеровыми, но и над когерентными слева кольцами.

При этом над нетеровым слева кольцом классы инъективных и FP-инъективных левых модулей совпадают, все левые модули FP-проективны. Когерентные слева кольца, с другой стороны, характеризуются условием, что над ними класс плоских правых модулей замкнут относительно бесконечных произведений. В этом смысле можно сказать, что (над когерентными кольцами) FP-инъективные модули находятся в том же отношении к инъективным, как плоские к проективным.

- Да, но зачем нужны когерентные кольца? -- Чтобы заниматься бесконечномерной и полубесконечной алгебраической геометрией. См. первый абзац этого постинга.

Кроме того, когерентными являются некоторые интересные некоммутативные кольца. Например, свободная некоммутативная алгебра с ≥2 образующими когерентна, но не нетерова.

Литература:
1. http://maths.nju.edu.cn:8001/portals/blog/nqding/pdf/Notes%20on%20FP-projective%20modules%20and%20FP-injective%20modules.pdf (Notes on FP-projective modules and FP-injective modules, by Lixin Mao and Nanquing Ding) и далее по ссылкам
2. http://posic.livejournal.com/774605.html (см. также http://posic.livejournal.com/776156.html )
3. http://posic.livejournal.com/815381.html и далее по ссылкам

Полубесконечная алгебраическая геометрия

В общем, короче, сейчас это мыслится примерно так. Основным исходным данным является некоторый морфизм Y → X. Здесь:

- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.

В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.

В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.

Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).

В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.

P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)

В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".

Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.

"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности.