Категорная последовательность Бокштейна: заключительные замечания

Теперь, когда весь аргумент более-менее записан, можно проследить за тем, какие структуры или условия являются на самом деле лишними и не используются.

Самое интересное, что нигде не используется, кажется, естественное преобразование τ на категории F_στ, а только естественное преобразование σ. Похоже, можно вернуться на уровень общности, характерный для предшествующих серий постингов про редукцию точных категорий, и считать σ естественным преобразованием, бьющим из тождественного эндофунктора в эндофунтор подкрутки (1) на категории F_στ. Такие же эндофункторы подкрутки должны, конечно, действовать на всех остальных упоминаемых точных категориях, и все точные функторы должны с этими подкрутками коммутировать.

Тогда можно надеяться получить "цело-цело-конечную" длинную точную последовательность Бокштейна для функтора редукции из серии постингов от 2 сентября в качестве частного случая "конечно-конечно-конечной" категорной последовательности Бокштейна из постинга http://posic.livejournal.com/996551.html . Для этого нужно просто взять F_τ = F_στ = F, функтор h_τ -- тождественный, и, с другой стороны, F_σ = G и h_σ = g.

Также мы, кажется, не пользовались "точной консервативностью" функтора h_τ (а функтора h_σ -- пользовались, в самом конце предыдущего постинга).

Гора родит смешную мышь

По некотором размышлении, похоже, в роли обещанных в предыдущих постингах "трудных теорем о мотивных когомологиях", которые нужно использовать, чтобы получить последовательности Бокштейна для групп Ext в моих точных категориях смешанных мотивов Артина-Тейта, оказываются, собственно, не теоремы, а гипотеза -- кошулевости алгебры когомологий Галуа (с коэффициентами в поле вычетов по модулю простого числа) соответствующей. Основное утверждение тогда принимает вид, что из гипотезы о глупых фильтрациях для артин-тейтовских мотивов с коэффициентами в поле вычетов по модулю простого числа следует такая же гипотеза с коэффициентами в кольце вычетов по модулю степени простого. Для полей, содержащих корни из единицы всех степеней, это было известно и раньше.

Трудность в том, чтобы показать (в обозначениях приблизительно из постинга http://posic.livejournal.com/992748.html ), что функтор F_Zl/l → F_Z/l индуцирует инъективные отображения на группах Ext² между образующими объектами. Пока мы этого не знаем, этот функтор может быть, вообще говоря, не эквивалентностью, а вложением полной подкатегории, не замкнутой относительно расширений (убиваемые индуцированным отображением классы Ext² как раз и будут препятствиями к существованию в F_Zl/l некоторых объектов, имеющихся в F_Z/l).

Вопрос в возможности поднять, с точностью до прикомпоновки допустимого эпиморфизма или допустимого мономорфизма, некий фильтрованный модуль, имеющйся в F_Z/l, до фильтрованного модуля в F_Zl. Информация о группах Ext² и Ext³ между образующими объектами в F_Z/l, используемая с помощью категорных последовательностей Бокштейна из предыдущих постингов + предположений индукции по весам, позволяет, может быть, производить такой подъем шаг за шагом, увеличивая показатель при степени l каждый раз на единицу.

Интересно было бы поискать как наиболее общую формулировку таких результатов/рассуждений, так и какие-нибудь дополнительные приложения. Скажем, нельзя ли так доказать (используя редукции категорий, похожих не на фильтрованные, а на градуированные модули), что неотрицательно градуированное кольцо с полным кольцом дискретного нормирования в нулевой компоненте неплоско-кошулево тогда и только тогда, когда таково его факторкольцо по идеалу, порожденному униформизирующим элементом? Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/425027.html