Аффинная геометрия (R,I)-контрамодулей - 2

Развитие старого постинга http://posic.livejournal.com/849300.html

За истекшие полгода (с выходом третьей версии архивного препринта) у меня тут немножко поменялась терминология: условие R-контраприспособленности в определение "(R,I)-контрамодуля" больше не включается (т.е., (R,I)-контрамодулем называется просто контрамодуль над пополнением R по I). Переведем утверждения из постинга по ссылке на новый язык (все кольца ниже коммутативные и нетеровы):

Лемма 1. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то всякий (S,J)-контрамодуль Q является также (R,I)-контрамодулем в структуре R-модуля, полученной ограничением скаляров при морфизме колец R → S. Если при этом S-модуль Q был контраприспособленным или модулем кокручения, то он остается таковым же и над R.

Лемма 2. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец f: R → S, такой что идеал J ⊂ S содержится в расширении идеала I ⊂ R при морфизме колец f, то S-модуль Hom_R(S,P) является (S,J)-контрамодулем для любого (R,I)-контрамодуля P. Если при этом S[s⁻¹] -- очень плоский R-модуль для всякого s ∈ S и R-модуль P контраприспособлен, то таков же и S-модуль Hom_R(S,P); если S -- плоский R-модуль и R-модуль P является модулем кокручения, то таков же и S-модуль Hom_R(S,P).

и добавим еще несколько:

Лемма 3. Если (R,I) → (S,J) -- конечный морфизм колец f: R → S, такой что идеал J ⊂ S содержится в расширении идеала I ⊂ R при морфизме колец f, то S-модуль S⊗_RP является (S,J)-контрамодулем для любого (R,I)-контрамодуля P. Если при этом P -- плоский R-модуль кокручения, то таков же и S-модуль S⊗_RP; если морфизм f сюръективен и R-модуль P контраприспособлен, то таков же и S-модуль S⊗_RP.

Лемма 4. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то имеется естественный точный справа функтор "слабого пополнения" из категории (R,I)-контрамодулей в категорию (S,J)-контрамодулей, переводящий свободный (R,I)-контрамодуль с множеством образующих X в свободный (S,J)-контрамодуль с тем же множеством образующих. Этот функтор сопряжен слева к функтору ограничения скаляров из леммы 1.

(Непонятно, сохраняет ли функтор "слабого пополнения" (контра)модулей свойства контраприспособленности и кокручения. Upd.: вообще говоря, конечно, не сохраняет: достаточно рассмотреть случай, когда R -- поле, а I=0. Но интересен и неясен случай, когда R=S... или, впрочем, отчасти ясен. См. следующие леммы.)

Лемма 5. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то функтор "слабого пополнения" из леммы 4 действует на R-плоские (R,I)-контрамодули F, переводя их в обычные "наивные" пополнения F_J^ = lim_n (S⊗_RF)/Jⁿ(S⊗_RF). В частности, этот функтор переводит R-плоские (R,I)-контрамодули в R-плоские (R,J)-контрамодули и очень плоские (R,I)-контрамодули в очень плоские (R,J)-контрамодули.

Лемма 6. Если I ⊂ J -- два идеала в кольце R = S, то функтор "слабого пополнения" из леммы 4 переводит R-контраприспособленные R-плоские (R,I)-контрамодули в R-контраприспособленные R-плоские (R,J)-контрамодули и R-плоские (R,I)-контрамодули R-кокручения в R-плоские (R,J)-контрамодули R-кокручения. (Идеи доказательства: в контраприспособленном случае, использовать критерий контраприспособленности I-полного R-модуля в терминах его приведения по модулю I; в случае кокручения, использовать Еноксову классификацию плоских модулей кокручения.)

***

Мораль сей басни: видимо, имеет смысл рассматривать два типа морфизмов формальных схем. "Строгие морфизмы" выделяются условием, что полный прообраз определяющей замкнутой подсхемы является определяющей замкнутой подсхемой. На языке колец с идеалами это значит, что идеал J ⊂ S в точности равен расширению идеала I ⊂ R в кольце S. "Морфизмы пополнения" отображают формальную схему в ее формальные пополнения относительно замкнутых подсхем (содержащихся в, но не являющихся определяющими подсхемами). На языке колец с идеалами, можно просто говорить, что кольцо R осталось прежним, а идеал I увеличился.

Конструкции из лемм 1-3 суть, по большому счету, конструкции функторов, связанных со строгими морфизмами, к которым прикомпоновывается функтор ограничения скаляров при морфизме пополнения формальных схем, связанных с кольцом S. Конструкция из леммы 4 описывает левый сопряженный функтор к ограничению скаляров как при строгом морфизме, так и при морфизме пополнения (при строгом конечном морфизме достаточно конструкции из леммы 3).

Аффинная геометрия (R,I)-контрамодулей - 3

Лемма 1. Пусть R → S_α -- конечный набор морфизмов нетеровых колец, такой что соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_α → Spec R является открытым покрытием. Пусть I -- идеал в кольце R, и J_α -- его расширения в S_α. Наконец, пусть P -- контраприспособленный R-модуль. Тогда R-модуль P является (R,I)-контрамодулем в том и только том случае, когда S_α-модули Hom_R(S_α,P) являются (S_α,J_α)-контрамодулями для всех α.

Доказательство: "только тогда" -- частный случай леммы 2 из предыдущего постинга. Чтобы доказать "тогда", надо использовать леммы 1-2 из предыдущего постинга + "контрагерентную" резольвенту Чеха контраприспособленного R-модуля P.

Лемма 2. Пусть пусть R → S -- гомоморфизм нетеровых колец, такой что соответствующий морфизм аффинных схем Spec S → Spec R является открытым вложением. Пусть I ⊂ J -- два идеала в кольце R; обозначим через SI и SJ расширения этих идеалов в S. Тогда функторы "слабого пополнения" из категории R-плоских R-контраприспособленных (R,I)-контрамодулей в категорию R-плоских R-контраприспособленных (R,J)-контрамодулей и из категории S-плоских S-контраприспособленных (S,SI)-контрамодулей в категорию S-плоских S-контраприспособленных (S,SJ)-контрамодулей образуют коммутативную диаграмму с функторами Hom_R(S,−).

Доказательство: условие, что морфизм аффинных схем является открытым вложением, нужно для того, чтобы функтор корасширения скаляров Hom_R(S,−) сохранял плоскость контраприспособленных модулей, см. Corollary 1.7.5(a) из контрагерентного препринта. В остальной части рассуждения используется только предположение, что морфизм схем очень плоский (или плоский, если ограничиваться контрамодулями кокручения).

Собственно доказательство основано на явной конструкции из леммы 5 предыдущего постинга и лемме 1.7.6(c) из контрагерентного препринта (примененяемой к морфизмам колец R → R/Jⁿ и R-модулю F=S), позволяющей в явном виде проверить коммутацию функторов.

Лемма 3. Пусть U -- нетерова аффинная схема, U_red -- ее максимальная приведенная замкнутая подсхема, и i: U_red → U -- отображение замкнутого вложения. Пусть P -- локально инъективный локально контрагерентный копучок на U. Тогда если локально инъективный локально контрагерентный копучок i^!P контрагерентен на всей U_red, то копучок P контрагерентен на всей U.

Доказательство: ввиду гомологического критерия контрагерентности локально контрагерентного копучка на аффинной схеме (лемма 3.2.2 из архивного препринта), дело сводится к следующему утверждению про комплексы модулей над кольцом.

Пусть R -- коммутативное кольцо, R_red = R/r -- его факторкольцо по нильрадикалу, и I = (I_n → … → I₀) -- конечный комплекс инъективных R-модулей. Тогда если максимальный подкомплекс _rI ⊂ I в I, аннулируемый r, ацикличен во всех членах, кроме, может быть, самого правого члена _rI₀, то и исходный комплекс I ацикличен во всех членах, кроме, может быть, I₀. Последнее утверждение легко проверяется по индукции с помощью "двойственной леммы Накаямы" (любой ненулевой R-модуль имеет ненулевой подмодуль элементов, аннулируемых r).

План оставшейся части контрагерентной книжки

Хорошо бы сделать две части. Нынешние Sections 1-5 образуют Part I: Contraherent cosheaves on schemes.

Нижеследующие Sections 6-8 (или 6-9) составляют Part II: Contraherent cosheaves of contramodules on Noetherian formal schemes.

Section 6: Affine Noetherian formal schemes

Сюда включается нынешний аппендикс C, а также материал последних двух ЖЖ-постингов.

Section 7: Locally contraherent cosheaves of contramodules

Сюда входят определения четырех точных категорий, участвующих в теореме ковариантной двойственности/ко-контра соответствия на формальной схеме; конструкции функторов прямого и обратного образа (включая специальные обратные образы) для (про)пучков и (инд)копучков; конструкции тензорных операций. Если потребуется писать что-то про (ко)вялые (ко)пучки, это тоже здесь. Триангулированные категории в этой главе не упоминаются.

Section 8: Co-contra correspondence over a Noetherian formal scheme

Здесь строятся нужные теории кокручения на точных категориях; эквивалентность четырех производных категорий второго рода (как обещано) на полуотделимой нетеровой формальной схеме и, может быть, двух на неполуотделимой; резольвентные подкатегории в точных и триангулированных категориях; производные функторы прямого и обратного образа; доказывается компактная порожденность; обсуждаются экстраординарные обратные образы Неемана и Делиня, и теория ковариантной двойственности Серра-Гротендика на формальных схемах.

Наконец, новый Appendix С (или Section 9): Koszul and D-Ω duality

Здесь, видимо, сразу над нетеровой формальной схемой строится неоднородная квадратичная двойственность над тензорной категорией про-плоских про-квазикогерентных про-пучков; обсуждаются квазидифференциальные коалгебры и квазикогерентные CDG-алгебры; доказывается Пуанкаре-Биркгоф-Витт; определяются полупроизводные категории; строится производная кошулева двойственность раздельно на ко- и на контра-стороне; и в конце концов (если получится) коммутативный квадрат с кошулевыми двойственностями по горизонталям и ко-контра соответствиями по вертикалям.

И еще: если на эту задачу у меня не найдется желающий студент, то придется ее, видимо, решать самому и тоже включать в эту книжку?