Вопрос веры

Несколько колов времени назад я имел беседу с А.Л. в коридоре факультета, на втором этаже. Мы там вместе сначала разыскивали, а потом дожидались секретарш известной лаборатории (эта деталь не имеет значения, а вставлена здесь для точности). Ну так вот, обсуждали мы бездельников-студентов, которые учатся на грани вылета, и как к этому относиться.

А. говорил, что студенты бывают разные, и мы склонны предполагать, что они взрослые ответственные люди, но в большинстве случаев по факту это не так. Я отвечал, что это вопрос веры, а не эмпирического опыта.

Если вы верите, что перед вами взрослые ответственные люди, и обращаетесь с ними соответственно -- т.е., возлагаете на них ответственность -- они ведут себя с вами, как взрослые ответственные люди. Хотя бы только из необходимости -- куда деваться-то. Если же вы видите в них детей-переростков -- они и ведут себя с вами, как дети-переростки. Потому что это оказывается рациональным поведением.

А.Л. в ответ рассказал анекдот про еврея, пришедшего к раввину с жалобой на свой умственный статус: понимаете, ребе, тут такое дело, мне в последнее время иногда кажется, что в словах моей жены есть какой-то смысл.

... Моя проблема в том, что я склонен видеть в людях -- взрослых (или не взрослых, если они дети, но в любом случае рациональных) ответственных людей, да. Но не носителей здорового нравственного чувства. Т.е. большинство окружающих, в моих глазах, нравственно невменяемы.

В том смысле, что с ними бесполезно разговаривать о предметах, требующих нравственной оценки. Таких как, например, их собственные действия. Или, если на то пошло, действия мои. Бесполезно спорить, что-либо им объяснять.

Точнее сказать, такие споры могут вестись, но не для того, чтобы в чем-либо убедить оппонента или даже наблюдателей, или во всяком случае, не для того, чтобы убедить силой аргументации. Цели могут быть ритуальными или символическими: еще раз заявить о своей позиции, продемонстрировать, что я не боюсь спора.

Реальный эффект может быть достигнут только средствами на том уровне, как дрессируют животных, или, в лучшем случае, как воспитывают каких-то тяжелых дебилов. Вколачиванием условных рефлексов: смотри, за это больно бьют. И за это тоже. Сейчас ты у меня выучишь, за что бьют, а за что нет. Шкурой, блядь, своей выучишь.

... Думаю, надо бы разнообразить чуток эту педагогическую практику. По типу манер провинциального судьи где-нибудь в Штатах: ты, дружок, сделал то-то и то-то, что требует наказания потому-то и потому-то. Теперь поди-ка посиди в тюряге годков, что ль, пять.

Задача Барра-Бека для точной категории контрамодулей кокручения

Известны следующие утверждения, являющиеся частным случаем теоремы Барра-Бека для консервативных точных функторов между абелевыми категориями:

Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский правый A-модуль. Тогда абелевы категории левых комодулей над кокольцами C над A и B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны; функтор тензорного умножения на B над A задает эту эквивалентность.

Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго проективный левый A-модуль (в смысле, проективную образующую категории левых A-модулей). Тогда абелевы категории левых контрамодулей над кокольцами C над A и B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны; функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность.

Хотелось бы доказать следующий вариант:

Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский левый A-модуль. Тогда контрапроизводные категории точных категорий левых контрамодулей A-кокручения над кокольцом C над A и левых контрамодулей B-кокручения над кокольцом B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны. Функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность; в частности, как функтор между точными категориями контрамодулей кокручения он является вполне строгим.

Идея предполагаемого доказательства теоремы 3: понятно, что обычную теорему Барра-Бека здесь не применишь, но можно рассуждать так. В первых двух перечисленных случаях, обсуждаемый функтор "замены кольца" имеет сопряженный функтор "замены кокольца" (определенный в большей общности произвольного морфизма коколец, согласованного с морфизмом из базовых колец).

В третьем случае, хотелось бы иметь частично определенный сопряженный функтор на точных категориях контрамодулей кокручения, индуцирующий всюду определенный сопряженный функтор на триангулированных категориях. Для этого нам понадобится техническая теорема о резольвентах, про которую будет следующий постинг.

Еще одна версия любимой теоремы о полной строгости

В духе предложения 1.5 из 1102.0261 и далее -- их уже много по нынешним временам -- следствий A.2.1(b-c)/А.5.2 из 1209.2995 и др. -- нельзя ли доказать следующие утверждения?

Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является плоским правым A-модулем. Тогда копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов коиндуцированных левых C-комодулей по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-комодулей, почленно коиндуцированных с точных троек A-модулей, и замкнутой относительно бесконечных прямых сумм.

Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является проективным левым A-модулем. Тогда контрапроизводная категория абелевой категории левых C-контрамодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов индуцированных левых C-контрамодулей по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, почленно индуцированных с точных троек A-модулей, и замкнутой относительно бесконечных произведений.

Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является плоским левым A-модулем. Тогда контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов левых C-контрамодулей, (почленно) индуцированых с А-модулей кокручения, по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, почленно индуцированных с точных троек A-модулей кокручения, и замкнутой относительно бесконечных произведений.

Во всех трех случаях, сравнительно несложно показать, что естественный функтор (индуцированный вложением гомотопических категорий) является функтором локализации по Вердье. Трудность в проверке полной строгости (или, хотя бы, консервативности). На этот предмет и используется длинное рассуждение из 1102.0261.

Будет ли оно работать в этой ситуации, где индуцированные контрамодули (или коиндуцированные комодули) не образуют даже точной категории?

Дофин играет в бильбоке

Здоровье ни к черту. Качество текущего преподавания, в лучшем случае, можно назвать нестабильным. До даты защиты осталось меньше трех месяцев (из которых две недели -- майские праздники). У ученика работа не сделана, положение угрожаемое. Жена хочет второго ребенка. С воспитанием первого мы не очень-то справились. Об отношениях с семьей брата лучше вообще ничего не говорить. Последний случай, когда статью приняли к печати, был больше полутора лет назад. Самая популярная из недавних работ лежит недописанной; больше полугода прошло с тех пор, как ее отверг, как слишком сложную, престижный журнал. Деньги на счетах и текущие доходы пока что есть, но ввиду перечисленного, наверное, скоро кончатся.

На этом фоне пишется текст размером с толстую книгу, не имеющий в обозримое время никаких перспектив быть ни прочитанным, ни опубликованным. Вернее, приложение к нему, долженствующее являть собой мост между этим и предыдущим сопоставимого размера текстом (который тоже никто не читает). Вернее, параграф в этом приложении, долженствующий являть собой мост между этим мостом и... И еще не меньше пары лет потребуется, чтобы закончить эту рукопись.

Вот это -- называется научной работой, да. По-моему. А вы чего ожидали?