![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Старый стал, совсем плохой стал
Jul. 15th, 2012 08:23 pmНесколько дней лениво размышлял над следующим понятием: допустим, есть точная категория E и в ней полная подкатегория F с индуцированной структурой точной категории (т.е. все тройки объектов F, точные в E, образуют интересующую нас структуру точной категории на F). Допустим далее, что во всякий объект из E бьет допустимый эпиморфизм из некоторого объекта из F, и ядро допустимого эпиморфизма в Е между двумя объектами из F всегда принадлежит F.
Ну, это такой набор условий, чтобы триангулированный функтор D−(F) → D−(E) был эквивалентностью категорий. И есть ряд более тонких утверждений в том же духе, в которых о производных категориях второго рода речь идет. И вот я думал: нужно ли вдобавок к перечисленному требовать, чтобы F была замкнута в E относительно расширений? Вроде во всех естественных примерах это выполнено, а с другой стороны, налагать неиспользуемое ограничение неизвестного предназначения как-то неспортивно.
И так я нарисовал себе диаграмму: точная тройка А → X → B в Е с объектами A, B из F, объект C из F отображается допустимым эпиморфизмом на X, ядро композиции C → X → B есть объект D ∈ F. Глядел на нее, как баран на новые ворота, и думал: и почему же объект X принадлежит F?
А теперь смотрю -- что это вообще за условие, что F с индуцированным классом троек является точной категорией? Например, если в F есть точная тройка D → C → B (как выше) и морфизм D → A, то по аксиоме замены кобазы диаграмма должна достраиваться до морфизма из точной тройки D → C → B в какую-то точную в F тройку A → Y → B (где морфизм D → A заданный, а B → B тождественный). Причем, будучи точной в F, тройка A → Y → B должна быть точна и в E. Откуда уже ясно, что X = Y.
То есть замкнутость относительно расширений следует из перечисленных условий. Все, собственно.
Ну, это такой набор условий, чтобы триангулированный функтор D−(F) → D−(E) был эквивалентностью категорий. И есть ряд более тонких утверждений в том же духе, в которых о производных категориях второго рода речь идет. И вот я думал: нужно ли вдобавок к перечисленному требовать, чтобы F была замкнута в E относительно расширений? Вроде во всех естественных примерах это выполнено, а с другой стороны, налагать неиспользуемое ограничение неизвестного предназначения как-то неспортивно.
И так я нарисовал себе диаграмму: точная тройка А → X → B в Е с объектами A, B из F, объект C из F отображается допустимым эпиморфизмом на X, ядро композиции C → X → B есть объект D ∈ F. Глядел на нее, как баран на новые ворота, и думал: и почему же объект X принадлежит F?
А теперь смотрю -- что это вообще за условие, что F с индуцированным классом троек является точной категорией? Например, если в F есть точная тройка D → C → B (как выше) и морфизм D → A, то по аксиоме замены кобазы диаграмма должна достраиваться до морфизма из точной тройки D → C → B в какую-то точную в F тройку A → Y → B (где морфизм D → A заданный, а B → B тождественный). Причем, будучи точной в F, тройка A → Y → B должна быть точна и в E. Откуда уже ясно, что X = Y.
То есть замкнутость относительно расширений следует из перечисленных условий. Все, собственно.
