![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение http://posic.livejournal.com/753725.html
Похоже, что сформулированное по ссылке утверждение доказывается. При этом в доказательстве возможности продолжить A∞-структуру по модулю mn плюс Ak−1-структуру по модулю mn+1 на B до A∞-структуры по модулю mn плюс Ak-структуры по модулю mn+1 используется инъективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).
А в доказательстве возможности одновременно модифицировать эту εn-компоненту k-й операции высшего умножения на B и подобрать εn-компоненту k-й операции высшего отображения A → B так, чтобы получился Ak-морфизм по модулю mn+1, используется сюръективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).
Теперь следующий шаг должен состоять в том, чтобы стриктифицировать единицу слабо искривленной A∞-алгебры, редукция которой по модулю m является A∞-алгеброй над полем с нулевым дифференциалом и унитальной двуместной операцией (заведомо ассоциативной, т.к. дифференциал нулевой).
Соответствующее утверждение могло бы формулироваться так: пусть A -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над R/mn+1, строго унитальная по модулю mn. Тогда должно быть можно подобрать "модифицирующий" слабо искривленный А-бесконечность изоморфизм между заданной и новой структурой А-бесконечность алгебры на A, тождественный по модулю mn, и подъем строгой единицы A/mnA в A, такой что поднятый элемент является строгой единицей в модифицированной структуре A∞-алгебры на A.
Более инвариантно, речь идет о слабо искривленном А-бесконечность изоморфизме A' → A, являющемся строгим изоморфизмом (т.е. со всеми нулевыми компонентами кроме f1) по модулю mn.
Upd.: например, чтобы поднять элемент 1 ∈ A/mnA до элемента 1' ∈ A, удовлетворяющего уравнению μ1(1')=0, достаточно сначала поднять 1 до любого элемента 1'' ∈ A, а потом положить 1' = 1'' + 1'' − μ2(1''⊗1''). (Это если A/mA произвольная А-бесконечность алгебра; если A/mA -- А-бесконечность алгебра с нулевым дифференциалом, вообще любой подъем годится, в чем можно убедиться, посчитав μ1(μ2(1''⊗1'')).)
UUpd.: вообще, эта стриктификация единицы при переходе от mod mn к mod mn+1 должна доказываться не так, как в ситуации над полем. В ситуации над полем, рассуждение Л.-Х. предполагает А-бесконечность алгебру с нулевым дифференциалом, следовательно, со строго ассоциативной и унитальной двухместной операцией μ2, и дальше использует f2, чтобы унитализовать μ3, и т.д.
Переход же от mod mn к mod mn+1 не требует никаких ограничений на μ1. В предположении μ1 = 0 mod m он, похоже, становится совсем простым (построенный выше элемент 1' является строгой единицей для A, и никакого f вообще не нужно). В общем же случае он использует f2, чтобы унитализовать μ2, и т.д. Грубо-приблизительно, нужно брать f2(1'⊗x) = μ3(1'⊗1'⊗x), что-то в этом роде.
Похоже, что сформулированное по ссылке утверждение доказывается. При этом в доказательстве возможности продолжить A∞-структуру по модулю mn плюс Ak−1-структуру по модулю mn+1 на B до A∞-структуры по модулю mn плюс Ak-структуры по модулю mn+1 используется инъективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).
А в доказательстве возможности одновременно модифицировать эту εn-компоненту k-й операции высшего умножения на B и подобрать εn-компоненту k-й операции высшего отображения A → B так, чтобы получился Ak-морфизм по модулю mn+1, используется сюръективность отображения H(B/mB) → H(A/mA).
Теперь следующий шаг должен состоять в том, чтобы стриктифицировать единицу слабо искривленной A∞-алгебры, редукция которой по модулю m является A∞-алгеброй над полем с нулевым дифференциалом и унитальной двуместной операцией (заведомо ассоциативной, т.к. дифференциал нулевой).
Соответствующее утверждение могло бы формулироваться так: пусть A -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над R/mn+1, строго унитальная по модулю mn. Тогда должно быть можно подобрать "модифицирующий" слабо искривленный А-бесконечность изоморфизм между заданной и новой структурой А-бесконечность алгебры на A, тождественный по модулю mn, и подъем строгой единицы A/mnA в A, такой что поднятый элемент является строгой единицей в модифицированной структуре A∞-алгебры на A.
Более инвариантно, речь идет о слабо искривленном А-бесконечность изоморфизме A' → A, являющемся строгим изоморфизмом (т.е. со всеми нулевыми компонентами кроме f1) по модулю mn.
Upd.: например, чтобы поднять элемент 1 ∈ A/mnA до элемента 1' ∈ A, удовлетворяющего уравнению μ1(1')=0, достаточно сначала поднять 1 до любого элемента 1'' ∈ A, а потом положить 1' = 1'' + 1'' − μ2(1''⊗1''). (Это если A/mA произвольная А-бесконечность алгебра; если A/mA -- А-бесконечность алгебра с нулевым дифференциалом, вообще любой подъем годится, в чем можно убедиться, посчитав μ1(μ2(1''⊗1'')).)
UUpd.: вообще, эта стриктификация единицы при переходе от mod mn к mod mn+1 должна доказываться не так, как в ситуации над полем. В ситуации над полем, рассуждение Л.-Х. предполагает А-бесконечность алгебру с нулевым дифференциалом, следовательно, со строго ассоциативной и унитальной двухместной операцией μ2, и дальше использует f2, чтобы унитализовать μ3, и т.д.
Переход же от mod mn к mod mn+1 не требует никаких ограничений на μ1. В предположении μ1 = 0 mod m он, похоже, становится совсем простым (построенный выше элемент 1' является строгой единицей для A, и никакого f вообще не нужно). В общем же случае он использует f2, чтобы унитализовать μ2, и т.д. Грубо-приблизительно, нужно брать f2(1'⊗x) = μ3(1'⊗1'⊗x), что-то в этом роде.
