(Ко)гомологии Хохшильда второго рода матричных факторизаций на особом многообразии? - 4

Продолжение http://posic.livejournal.com/706377.html . Сформулируем выводы из рассуждений по ссылке в немного другой (неэквивалентной, но более удобной для нас) форме. Обозначения прежние.

Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно-порожденный левый DG-модуль. Предположим, что M как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю (т.е., принадлежит толстой подкатегории, натянутой на свободные DG-модули с одним объектом C -- образующей). Тогда тензорное произведение M над B на любой ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль над C ациклично. Поэтому Tor первого и второго рода между N и M совпадают для всех N.

Аналогично, пусть L -- конечно-порожденный левый DG-модуль над C, а M -- произвольный левый DG-модуль. Предположим, что L как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю. Тогда Hom над B из L в любой ацикличный градуированно инъективный левый DG-модуль над C ацикличен. Поэтому Ext первого и второго рода между L и M совпадают для всех M.

Пусть теперь C -- тензорное произведение DG-категории D правых CDG-модулей над CDG-алгеброй/категорией B над полем k на противоположную категорию. Тогда DG-категории левых и правых DG-модулей над C отождествляются с DG-категорией CDG-бимодулей над B, при этом диагональному DG-модулю над D над C соответствует диагональный CDG-бимодуль B над B. Таким образом, мы доказали следующий результат.

Теорема. Пусть B -- CDG-алгебра (или CDG-категория с конечным числом объектов) над полем k, такая что абелева категория градуированных бимодулей над градуированной алгеброй B локально нетерова. Предположим, что диагональный CDG-бимодуль B над B как объект абсолютной производной категории конечно порожденных CDG-модулей принадлежит толстой подкатегории, порожденной внешними тензорными произведениями левых и правых CDG-модулей над B с конечно порожденными проективными подлежащими градуированными модулями. Тогда (ко)гомологии Хохшильда первого и второго рода с коэффициентами в любом DG-бимодуле совпадают для DG-категории D.

(Ко)гомологии Хохшильда второго рода матричных факторизаций на особом многообразии? - 5

Окончание этой серии постингов -- http://posic.livejournal.com/706049.html и http://posic.livejournal.com/707308.html

Мы показали, что (ко)гомологии Хохшильда DG-категории локально свободных матричных факторизаций на аффинном, но, возможно, особом алгебраическом многоообразии X над полем k вычисляются (ко)гомологическим комплексом Хохшильда второго рода CDG-алгебры (O(X),0,w) при условии, что диагональная матричная факторизация (O_Δ,0) потенциала w₁−w₂ на X×X принадлежит толстой подкатегории абс. производной категории когерентных м.ф., порожденной внешними тензорными произведениями локально свободных м.ф. над X.

Проблема с этим утверждением в том, что для его применимости нужно, как минимум, чтобы диагональная матричная факторизация была изоморфна прямому слагаемому локально свободной в абс. производной категории когерентных. Это сильное условие, которое вряд ли часто бывает выполнено. Остается впечатление, что локально свободных матричных факторизаций "слишком мало", и следовало бы вычислять (ко)гомологии Хохшильда DG-категории, описывающей абс. производную категорию когерентных матричных факторизаций.

Другая проблема в том, что какая бы DG-категория м.ф. ни рассматривалась, наш гипотетический ответ, что (ко)гомологии Хохшильда их DG-категории должны быть изоморфны (ко)гомологиям Хохшильда второго рода CDG-алгебры (O(X),0,w), непохож на правильный в общем случае.

Просто потому, что когда алгебра O(X) имеет гомологии Хохшильда в сколь угодно высоких гомологических степенях, естественно ожидать, что гомологии Хохшильда второго рода будут континуум-мерными векторными пространствами, топологического такого толка. Меж тем, как гомологии Хохшильда (первого рода) любой из DG-категорий м.ф. -- дискретны и счетномерны. Аналогичный аргумент для когомологий Хохшульда сформулировать сложнее, впрочем.