Идея в том, чтобы, в контексте рассуждений из нашей статьи (1010.0982), попытаться заменить, где возможно, условие конечности гомологической размерности на условие нетеровости.
Заметим, например, что для любой CDG-категории B, подлежащая градуированная категория которой когерентна слева (т.е. абелева категория левых градуированных модулей локально когерентна), имеется производный функтор TorII,B, у которого первый аргумент пробегает контрапроизводную категорию правых CDG-модулей, а второй -- абсолютную производную категорию CDG-модулей, подлежащие градуированные модули которых конечно представимы. Потому что, согласно одному из замечаний в 1102.0261, контрапроизводная категория правых CDG-модулей над CDG-категорией, подлежащая градуированная категория которой когерентна слева, эквивалентна контрапроизводной категории CDG-модулей, подлежащие градуированные модули которых плоски. Дальше остается использовать коммутацию функтора тензорного умножения на конечно представимый модуль с бесконечными произведениями.
Аналогичное утверждение для функтора Ext выглядит менее неожиданным: для любой CDG-категории B, подлежащая градуированная категория которой нетерова слева, имеется производный функтор ExtIIB, у которого первый аргумент пробегает абсолютную производную категорию конечно порожденных левых CDG-модулей, а второй -- копроизводную категорию левых CDG-модулей. Вычисляется с помощью инъективных резольвент второго аргумента.
Более того, в обоих случаях определенный таким образом производный функтор совпадает (там, где он определен) с общей (некатегорной) конструкцией TorII или ExtII, изложенной в 0905.2621 и 1010.0982 (следуя [HMS]). В таком виде и во втором случае утверждение выглядит чуть поинтереснее.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
