![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Пусть R -- проартиново справа топологическое кольцо (= проективный предел направленной системы артиновых справа колец и сюръективных отображений между ними).
Левым R-комодулем называется объект категории, противоположной к категории квази-компактных правых R-модулей (в смысле диссертации Габриэля). Другими словами, левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной объединению категорий правых модулей конечной длины над дискретными факторкольцами R. Еще проще: левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной к категории дискретных правых R-модулей конечной длины.
В частности:
- если R -- просто дискретное артиново справа кольцо, то левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной к категории правых R-модулей конечной длины;
- если R -- двойственное векторное пространство к коассоциативной коалгебре C над полем k (т.е. попросту проконечномерная алгебра над k), то левый R-комодуль -- это то же самое, что левый C-комодуль или дискретный левый R-модуль (потому что категория конечномерных левых комодулей над коалгеброй противоположна категории конечномерных правых комодулей над ней -- посредством функтора Homk(−,k));
- если R -- проконечное кольцо, т.е. проективный предел конечных колец (в буквальном смысле слова, да, т.е. конечных как множества), то левый R-комодуль -- это то же самое, что дискретный левый R-модуль (потому что категория конечных левых R-модулей противоположна категории конечных правых R-модулей -- посредством функтора HomZ(−,Q/Z)).
Комодульно-контрамодульное соответствие над R представляет собой ковариантную эквивалентность копроизводной категории левых R-комодулей и контрапроизводной категории левых R-контрамодулей.
(Все это, конечно, чисто терминологическое решение. Underlying facts были известны давно. Просто в таком виде статья об этих вещах будет выглядеть несколько менее зубодробительно, чем оно было бы иначе. По крайней мере, в таком виде написание этого становится хоть как-то мыслимым.)
Левым R-комодулем называется объект категории, противоположной к категории квази-компактных правых R-модулей (в смысле диссертации Габриэля). Другими словами, левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной объединению категорий правых модулей конечной длины над дискретными факторкольцами R. Еще проще: левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной к категории дискретных правых R-модулей конечной длины.
В частности:
- если R -- просто дискретное артиново справа кольцо, то левый R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории, противоположной к категории правых R-модулей конечной длины;
- если R -- двойственное векторное пространство к коассоциативной коалгебре C над полем k (т.е. попросту проконечномерная алгебра над k), то левый R-комодуль -- это то же самое, что левый C-комодуль или дискретный левый R-модуль (потому что категория конечномерных левых комодулей над коалгеброй противоположна категории конечномерных правых комодулей над ней -- посредством функтора Homk(−,k));
- если R -- проконечное кольцо, т.е. проективный предел конечных колец (в буквальном смысле слова, да, т.е. конечных как множества), то левый R-комодуль -- это то же самое, что дискретный левый R-модуль (потому что категория конечных левых R-модулей противоположна категории конечных правых R-модулей -- посредством функтора HomZ(−,Q/Z)).
Комодульно-контрамодульное соответствие над R представляет собой ковариантную эквивалентность копроизводной категории левых R-комодулей и контрапроизводной категории левых R-контрамодулей.
(Все это, конечно, чисто терминологическое решение. Underlying facts были известны давно. Просто в таком виде статья об этих вещах будет выглядеть несколько менее зубодробительно, чем оно было бы иначе. По крайней мере, в таком виде написание этого становится хоть как-то мыслимым.)
