Частично сопряженные частично определенные производные функторы - 2

Из предыдущего постинга может сложиться впечатление, что частично определенные производные функторы от сопряженных функторов всегда сопряжены. В некотором смысле это в самом деле там утверждается, но тут есть одна тонкость -- производные функторы, которые там рассматриваются, хотя и могут быть частично определенными, берутся вдоль по всей категории H' или H''.

Допустим, у нас есть функтор F: H'→H'' (и сопряженный к нему функтор G в обратную сторону), но производный функтор мы умеем строить только у ограничения F на некую полную подкатегорию E'⊂H' (такая ситуация возникает, например, в связи с производным функтором обратного образа (квази)когерентных CDG-модулей). Можно предположить, для симметрии, что у ограничения функтора G на некую полную подкатегорию E''⊂H'' тоже есть производный функтор; обозначим их через L_E'F и R_E''G. В обоих случаях имеются в виду производные функторы относительно неких локализующих классов T' и T'' в E' и E'', содержащихся в S' и S'.

Что нужно для того, чтобы эти частичные производные функторы были частично сопряжены, т.е.

Hom_{H''[S''⁻¹]}(L_E'F(X), Y) = Hom_H'[S'⁻¹](X, R_E''G(Y))

для всех X из E'[T'⁻¹] и Y из E''[T''⁻¹]? Ответ состоит в том, что, согласно предыдущему постингу, достаточно того, чтобы производный функтор вдоль E' и T' совпадал с производным функтором вдоль H' и S', примененным к объекту из E' (и то же для E''). Для этого достаточно, чтобы морфизмы в объект X∈E', принадлежащие T', образовывали конфинальную подкатегорию в направленной категории всех морфизмов в объект X, принадлежащих S'. Это гораздо более сильное условие, чем S'∩E' = T' и даже чем полная строгость функтора E'[T'⁻¹] → H'[S'⁻¹].

В триангулированной ситуации, это условие конфинальности превращается в знакомое условие, что всякий морфизм из объекта X∈E' в объект толстой подкатегории A'⊂H', соответствующей локализующему классу S', факторизуется через некоторый объект толстой подкатегории B'⊂E', соответствующей локализующему классу T'.

Асимметрия эквивалентностей категорий

(Мой начальник) М.Ц. считает, что у любой (важной) эквивалентности категорий есть сторона, являющаяся целью (про которую на самом деле хотелось бы все узнать), и сторона, являющаяся средством (с которой технически удобнее иметь дело, в связи с чем она и рассматривается).

Например, он говорит, что в соответствии Римана-Гильберта D-модули являются целью, а превратные пучки -- средством. Наверное, можно сказать, что в зеркальной симметрии A-модель (категория Фукаи, исчислительная геометрия) является целью, а B-модель (когерентные пучки, матричные факторизации) -- средством.

М.Ц. спрашивал меня, что является целью и что средством в производной D-Ω двойственности. Ответ, видимо, как выше -- D-модули являются целью, DG-модули над Ω -- средством. С последними в самом деле технически удобнее иметь дело, в некоторых отношениях -- например, с морфизмом многообразий связан морфизм пространств, окольцованных DG-алгебрами дифференциальных форм, и т.д.

Интересно, что следует считать целью и что средством в эквивалентности между матричными факторизациями и триангулированной категорией особенностей. (Видимо, категории особенностей -- цель, а матричные факторизации -- средство.)