![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Feb. 4th, 2011
Что-то у меня неправдоподобно сильное утверждение получается. Ну, посмотрим.
Пусть B -- нетерова (для простоты) квазикогерентная CDG-алгебра над нетеровой отделимой схемой X с достаточным числом векторных расслоений. Тогда естественный функтор из абсолютной производной категории плоских когерентных CDG-модулей над B в абсолютную производную категорию произвольных когерентных CDG-модулей -- вполне строгий.
Мы покажем, что любой морфизм из плоского когерентного CDG-модуля F в абсолютно ацикличный когерентный CDG-модуль A в гомотопической категории CDG-модулей факторизуется через CDG-модуль, абсолютно ацикличный по отношению к категории плоских CDG-модулей. CDG-модуль A можно считать полученным из тотализаций точных троек когерентных CDG-модулей с помощью итерирования операции конуса замкнутого морфизма. Доказательство проводится индукцией по числу операций взятия конуса в таком итеративном процессе. Таким образом, мы предполагаем, что имеется выделенный треугольник B → A → C → в гомотопической категории CDG-модулей, где C -- тотализация точной тройки CDG-модулей X → Y → Z, а абсолютно ацикличный CDG-модуль B обладает нужным нам свойством по отношению ко всем плоским CDG-модулям P.
Замкнутый морфизм из какого-то CDG-модуля P в тотализацию точной тройки X → Y → Z -- это набор (не обязательно замкнутых) морфизмов из X в (соответствующие сдвиги) CDG-модулей X, Y, Z. Замкнутость этого морфизма выражается тройкой линейных уравнений, куда входят дифференциалы компонент и их композиции с морфизмами между X, Y, и Z. Чтобы стянуть такой замкнутый морфизм, (не необходимо, но) достаточно поднять его компоненту P → Z до (не обязательно замкнутого) морфизма P → Y.
Пусть Q -- плоский градуированный B-модуль, сюръективно отображающийся на расслоенное произведение F и Y над Z, так что отображение Q → F тоже сюрьективно и композицию Q → F → Z можно поднять до отображения Q → Y. CDG-модуль G+(Q), свободно порожденный градуированным модулем Q, тоже отображается в F, и соответственно в Y. Соотношение между компонентами F → Y и F → Z нашего замкнутого морфизма F → C позволяет естественным образом продолжить поднятие Q → Y морфизма Q → Z до поднятия G+(Q) → Y морфизма G+(Q) → Z.
Пусть P -- ядро морфизма G+(Q) → F; тогда из конуса R морфизма P → G+(Q) имеется замкнутый морфизм в F с конусом, абсолютно ацикличным по отношению к категории плоских CDG-модулей. Отображение R → Z факторизуется через G+(Q), и следовательно, поднимается до отображения в Y. Таким образом, композиция R → F → A → C стягиваема, и следовательно, композиция R → F → A факторизуется через B в гомотопической категории. Дальше -- индукция.
Пусть B -- нетерова (для простоты) квазикогерентная CDG-алгебра над нетеровой отделимой схемой X с достаточным числом векторных расслоений. Тогда естественный функтор из абсолютной производной категории плоских когерентных CDG-модулей над B в абсолютную производную категорию произвольных когерентных CDG-модулей -- вполне строгий.
Мы покажем, что любой морфизм из плоского когерентного CDG-модуля F в абсолютно ацикличный когерентный CDG-модуль A в гомотопической категории CDG-модулей факторизуется через CDG-модуль, абсолютно ацикличный по отношению к категории плоских CDG-модулей. CDG-модуль A можно считать полученным из тотализаций точных троек когерентных CDG-модулей с помощью итерирования операции конуса замкнутого морфизма. Доказательство проводится индукцией по числу операций взятия конуса в таком итеративном процессе. Таким образом, мы предполагаем, что имеется выделенный треугольник B → A → C → в гомотопической категории CDG-модулей, где C -- тотализация точной тройки CDG-модулей X → Y → Z, а абсолютно ацикличный CDG-модуль B обладает нужным нам свойством по отношению ко всем плоским CDG-модулям P.
Замкнутый морфизм из какого-то CDG-модуля P в тотализацию точной тройки X → Y → Z -- это набор (не обязательно замкнутых) морфизмов из X в (соответствующие сдвиги) CDG-модулей X, Y, Z. Замкнутость этого морфизма выражается тройкой линейных уравнений, куда входят дифференциалы компонент и их композиции с морфизмами между X, Y, и Z. Чтобы стянуть такой замкнутый морфизм, (не необходимо, но) достаточно поднять его компоненту P → Z до (не обязательно замкнутого) морфизма P → Y.
Пусть Q -- плоский градуированный B-модуль, сюръективно отображающийся на расслоенное произведение F и Y над Z, так что отображение Q → F тоже сюрьективно и композицию Q → F → Z можно поднять до отображения Q → Y. CDG-модуль G+(Q), свободно порожденный градуированным модулем Q, тоже отображается в F, и соответственно в Y. Соотношение между компонентами F → Y и F → Z нашего замкнутого морфизма F → C позволяет естественным образом продолжить поднятие Q → Y морфизма Q → Z до поднятия G+(Q) → Y морфизма G+(Q) → Z.
Пусть P -- ядро морфизма G+(Q) → F; тогда из конуса R морфизма P → G+(Q) имеется замкнутый морфизм в F с конусом, абсолютно ацикличным по отношению к категории плоских CDG-модулей. Отображение R → Z факторизуется через G+(Q), и следовательно, поднимается до отображения в Y. Таким образом, композиция R → F → A → C стягиваема, и следовательно, композиция R → F → A факторизуется через B в гомотопической категории. Дальше -- индукция.